椭圆齿轮的近似建模方法研究

普通圆齿轮的分度圆为圆形，在建立圆齿轮的三维模型时，只需建立一个轮齿，然后通过阵列便可生成全部轮齿，方法简单，建模效率较高〔1〕。而椭圆齿轮节曲线为椭圆形，导致椭圆齿轮每个轮齿的位置和方向均不相同，因此需要分别计算各个轮齿的位置和方向，这给椭圆齿轮的三维建模带来了很大困难〔2〕。目前，很多研究人员已经投入到椭圆齿轮三维建模的研究中，其中主流建模方法是齿形折算法〔3-4〕。该方法能够完成椭圆齿轮的建模任务，但建模效率极低，严重影响后续的运动分析和加工制造环节。针对上述问题，本文提出椭圆齿轮的近似建模方法，将椭圆齿轮节曲线分成四段圆弧，在每段圆弧上按照普通圆齿轮的建模方法建立各轮齿模型，将四段圆齿轮模型拼接起来形成最终的椭圆齿轮近似模型。并分别对齿形折算法和近似法建立的模型进行模态分析，获得了椭圆齿轮前五阶固有频率。对比分析表明，椭圆齿轮的近似建模方法建模效率较高，所得模型虽然略有误差，但对模态分析结果影响不大，同时为普通铣床加工椭圆齿轮奠定了基础。

1 椭圆齿轮基本参数

本文以文献〔5〕中的椭圆齿轮为例，研究椭圆齿轮近似建模方法。该椭圆齿轮的基本参数如表1所示。

 

表1 椭圆齿轮基本参数

  

齿数模数压力角齿顶高系数顶隙系数偏心率长半轴短半轴zmαha*c*eab495.9220°10.250.350149.8140.3

2 椭圆齿轮的近似建模过程

2.1 椭圆齿轮节曲线的绘制

根据表1数据，绘制椭圆齿轮的长轴AA1和短轴BB1，如图1所示。连接AB成一线段，并作圆心为B的圆。其中OA=OE，圆B的半径等于BE的长，圆B与直线AB交于点D。作AD的垂直平分线，分别交X轴和Y轴于O1、O4两点，获得第一条分割线O1O4，如图2所示。

  

图1 绘制长轴和短轴

  

图2 确定第一条分割线O1O4

作第一条分割线O1O4关于Y轴的镜像，获得第二条分割线O3O4，再作第一条分割线O1O4和第二条分割线O3O4关于X轴的镜像获得第三条分割线O1O2和第四条分割线O3O2，如图3所示。以O1为圆心，O1A为半径绘制圆弧，分别交于第一条分割线O1O4和第三条分割线O1O2的延长线于P、N两点，如图4所示。

  

图3 绘制四条分割线

  

图4 绘制右圆弧

以O3为圆心，O3A1为半径绘制圆弧，分别交于第二条分割线O3O4和第四条分割线O3O2的延长线于Q、M两点，如图5所示。最后以O2、O4为圆心，O4B为半径绘制圆弧，分别交于O3O2、O2O1、O1O4、O3O4的延长线于分割点M、N、P、Q，如图6所示。

利用椭圆齿轮齿廓二维图，通过拉伸便可生成椭圆齿轮的三维实体模型，如图9所示。最后在椭圆焦点处完成齿轮孔和键槽，如图10所示。

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图5 绘制左圆弧

  

图6 绘制上下圆弧

2.2 各段圆弧齿数的分配

参照普通圆齿轮的建模方法，根据所确定的各段圆弧上的齿数，便可绘制出椭圆齿轮的各个齿廓曲线和过渡曲线，如图8所示。

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2.3 齿廓曲线和过渡曲线的绘制

由表1可知，该椭圆齿轮的齿数为49，因此应将这49个合理分配到四段圆弧上。根据弧长以及椭圆齿轮啮合原理〔6〕，最终确定上圆弧13个齿，下圆弧13个齿，左圆弧11个齿，右圆弧12个齿。于是修正分割点M、N、P、Q的位置，如图7所示。

这样，传统理论的、传授的及教师主导的学习经历便变为实践的、发现的及自我主导的新方法，更为有效。在观察这一转变时，我们会看到一个重要的转变，即把学和教的程序倒转来：不先教本来想教的知识，而是提出问题并提供环境，让学生自己先发现知识，然后巩固它作为学习。

  

图7 重新分配四点

  

图8 整体齿廓图

2.4 椭圆齿轮三维模型的生成

由于MEMS陀螺随机信号易受环境温度、外界震动、陀螺自身温度、电压波动、电路稳定性、自身重复性差等因素影响[8],导致MEMS陀螺随机误差模型中结构参数和噪声统计特性波动明显,难以准确获取[5]。

  

图9 椭圆齿轮三维模型

  

图10 最终的椭圆齿轮模型

3 椭圆齿轮模态分析

模态分析是有限元分析中最常见的一种。通过模态分析，可获得系统的固有频率，从而指导系统运行过程中的参数选取以及避免共振现象等。通常低阶固有频率是最有价值的〔7,8〕，因此，本文对近似法建立的椭圆齿轮进行了前五阶模态分析，获得了前五阶固有频率。图11和图12分别为模态分析过程中的划分网格和添加约束。

此外，通过齿形折算法建立的该椭圆齿轮模型，也可获得前五阶固有频率，表2给出了其模态分析结果与本文近似法模型模态分析结果的对比情况。

  

图11 划分网络

  

图12 添加约束面

 

表2 近似法与齿形折算法固有频率对比结果

  

阶数一阶二阶三阶四阶五阶齿形折算法固有频率/Hz2546.63691.35761.66120.47796.4近似法固有频率/Hz2490.53563.75486.65798.47318.8误差2.2%3.5%4.7%5.2%6.1%

由表2可知，近似法建立的椭圆齿轮模型与齿形折算法建立的椭圆齿轮模型经过模态分析所获得的前五阶固有频率虽有误差，但误差不大。随着阶数的增加，误差也不断变大。由于模态分析中低阶固有频率最有价值，这里不考虑高阶固有频率，因此近似法建立的椭圆齿轮模型对模态分析结果影响不大。

4 结论

本文提出了一种椭圆齿轮的近似建模方法，利用四条分割线将椭圆齿轮节曲线分成四段圆弧，在每段圆弧上按照普通圆齿轮的建模方法建立了各轮齿模型，将四段圆齿轮模型拼接起来形成最终的椭圆齿轮近似模型。通过对齿形折算法和近似法建立的模型进行模态分析，获得了椭圆齿轮的前五阶固有频率。对比分析表明，椭圆齿轮的近似建模方法建模效率较高，所得模型虽然略有误差，但对模态分析结果影响不大，为普通铣床加工椭圆齿轮奠定了基础。

参考文献

〔1〕李常义，卢耀辉，周继伟. 基于ANSYS的渐开线援助齿轮参数化造型与有限元建模及分析技术〔J〕. 机械传动,2004,28(6):25-28.

〔2〕李福生. 非圆齿轮与特种齿轮传动设计〔M〕. 北京：机械工业出版社,1983.

〔3〕贾松,胡青春. 基于CAXA的非圆齿轮的三维造型与设计〔J〕. 机械传动, 2005, 29(1):30 -32.

〔4〕黄志东. 基于I-DEAS的椭圆齿轮的三维造型研究〔J〕. 辽宁科技学院学报,2010, 12(1):40-41.

〔5〕孙桂花. 近似分度法铣制椭圆齿轮〔J〕. 机械工业标准化与质量,2013, (1):27-30.

〔6〕吴序堂,王贵海.非圆齿轮及非匀速比运动〔M〕. 北京:机械工业出版社,1997.

〔7〕张宏文. 椭圆齿轮有限元模态分析〔J〕. 机械传动,2009,33(1):82-84.

〔8〕黄志东，韩杨.基于ANSYS的高速包装机的椭圆齿轮模态分析〔J〕. 辽宁科技学院学报,2010,12(3):29-30.