热传导方程的解法注记

1 引言

本文求解如下有界域内热传导方程的混合问题

第一，一方面大力发展非观光型乡村旅游产品，如休闲度假旅游产品、养老保健和修学科研旅游产品；另一方面，根据游客需求，适度发展高档乡村旅游产品类型，如乡村俱乐部、现代商务度假与企业庄园模式等。逐步形成观光、度假、特种三种产品类型相互补充，高端、中端、大众三个档次齐备的乡村旅游产品体系。第二，要通过深度挖掘特色文化，发挥创意思维等方式，实现产品项目差异化开发。

上述问题是文献[1]习题二中的一道练习题，给出的正确答案是

另一方面，分析小学数学教学期刊中有关方程意义的教学设计，可以发现，大致可以分为三类：（1）借助于天平，从“等价”以及“数量关系”着手生成方程，进而概括属性特征；（2）借助于情境产生等式与不等式以及方程，经过两次分类，进而筛选出课程学习的主题词“方程”；（3）用以前接触到的“20÷□=4”这样的式子来引入。那么，这些设计是否反映教师已经理解方程的本质？

笔者多年从事理工科本科生和研究生的数学物理方程教学，发现在求解问题(1)时，大多数学生会选取特征函数展开法或齐次化原理[1-3]去求解，但用这两种方法求出的解的表达式在形式上和(2)有所不同.本文从两方面解答这一疑惑.首先，分别用特征函数展开法和齐次化原理求出问题(1)的解，然后说明解的表达式和(1)的一致性.其次，借助辅助函数，应用方程和边界条件同时齐次化方法直接求出解的表达式(2).由于(1)中的边界条件是齐次的，第二种方法往往是被忽略的简便方法.

解之得是待定常数，代入(4)得

(3)的解即特征值和特征函数分别是所以原问题(1)的解具有形式

2 特征函数展开法和齐次化原理

2.1 特征函数展开法

问题(1)所对应的特征值问题是

在古希腊，城邦就是人开启公共生活的公共空间，人以此为契机在一个公共、开放的环境中交流与行动，人的文化和精神诉求得到满足，人的意识和肉体发展在城邦的孕育下呈现勃勃生机。亚里士多德称：“人是天生的城邦动物”。人的生命存在离不开社会活动的参与，人的生存发展始终与城邦紧密相连。人在城邦生活中自由地发表言论，积极追求至善的德性。在古希腊，长期的战争环境要求每一个公民必须具备强健的体魄，能加入到保卫城邦的战争中，斯巴达的儿童从七岁起就由国家抚养，每一个人都进行体育教育和军事训练。也正因如此，公民意志得以凝结成强大的力量，保护自身，保护家园，人的日常生活得以有序地进行。

代入(1)中方程，并将自由项 按照特征函数展开可得

其中因此关于Tn(t)的微分方程是

1992年，在“全国第二届暗示教学法与沙塔洛夫教学法研讨会”中，我正式提出“两法合一”的问题，但当时还没提出“和谐教学”的概念，主要是利用暗示教学法的基本模式和课堂音乐，吸收纲要信号图示教学法的板书艺术，即“愉快教学法”。因当时上海已经有了“愉快教育”，为避免给人雷同的感觉，在与课题组教师反复讨论后，定名为“和谐教学法”。

又将(1)中的初始条件代入(5)易得到故(1)的解

2.2 齐次化原理

所以，只要取辅助函数w(x)满足a2w"(x)+A=0，w(0)=w(l)=0,即

学生自身、学校和社会都是影响学生体质健康水平的重要因素，应多形式多渠道地开展健康教育，针对不同的学生人群应当采取有针对性的干预措施，培养学生乐于锻炼、积极参与运动的良好习惯，调动学生进行体育锻炼的主动性和自觉性，把健康素质作为评价学生全面健康发展的重要指标，提高学生的健康水平。

从而(1)的解为由于经典的分离变量法是熟知的，因此不再赘述，直接写出满足(7)中方程和边界条件的解为，将(7)中初始条件代入得，故

.从而可得(1)的解

至此得到了和本征函数展开法一致的解式(6).

代入(2)式即可得(6).

注1 解的表达式(2)和(6)是一致的.事实上，将(2)中右端的第一项展开成级数有，其中

3 辅助函数法

由于(1)中的自由项A和变量t无关，可以取辅助函数w(x)，并让 w(x)也满足 w(0)=w(l)=0.令 v=u-w，则 v 满足

根据齐次化原理，要求解问题(1)，先用分离变量法求解齐次问题

班婕妤“团扇”“秋风”的典故，原用于表达女子对失宠的无奈及对帝王的怨恨，管世铭在此诗中活用典故，以弃妇自比，表面上说“团扇非题怨”（不怨恨统治者重奸佞轻贤臣之举），却以反问句“妾敢恨秋风”来表达否定之意，实则暗含了更深沉的愤懑怨怼之情。管世铭诗中蕴含的讽喻和忧愤具有较强的时代意义和典型特征，既渗透了诗人对穷通不遇、进退维谷处境的感受，也流露了对统治者贤愚不分、忠奸不辨的委婉批评。

问题(8)变为

直接用分离变量法易知(9)的解

，所以(1)的解u(t,x)=v(t,x)+w(x)，即得到了形如(2)的解.

4 结束语

本文以分离变量法为基础，分别用三种不同的方法求解了热传导方程的定解问题，并说明了级数形式解的统一性.对同一数学物理方程的定解问题，尽量采用不同的方法多次求解，一方面便于对不同求解方法的灵活选用，另一方面，可将繁杂的基础知识有机地结合起来，便于理清数学物理方程的知识脉络，从而做到对数学物理方程学科知识的真正掌握.

美国工程木协会(Engineered Wood Association，APA)已经适应了人造板行业的变化，同时坚持其核心原则。

参考文献：

〔1〕王元明.数学物理方程与特殊函数(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2004.

〔2〕谷超豪，等.数学物理方程(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2012.

〔3〕梁昆淼.数学物理方法(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2010.