元素法在曲线积分、曲面积分上的应用

0 引 言

随着学校转型发展，教学改革势在必行，部分学校在加强数学教学的同时，理论教学总学时却不断压缩而缩短。面对这种情况，或者删减内容或者改革教学方法，在这里笔者选择了后者。在微积分教学中，曲线积分、曲面积分既是重点又是难点，但是，不少学校及专业由于学时所限都进行了删掉处理，实属可惜。元素法在定积分、重积分应用中起到了重要作用，如果将这种方法运用到曲线积分、曲面积分教学中，必将起到事半功倍的效果。另外，由于把曲线积分、曲面积分所解决的问题转化为定积分、重积分应用，也就避开了最初用极限方式来定义曲线积分、曲面积分的模式，一举两得。

让我说说，我和付玉相处的一段经历吧。说真的，我在高中谈了，也是我的初恋，不是别人，正是付玉。我敢肯定，我是付玉第一个恋人，也是她的第一个男人。事情都已过去，咱们只是她记忆的一粒沙子，或者是她记忆的一颗小枣。说出来，你也不要吃醋。

下面以定积分应用为例对元素法进行简要描述， 当所求量Q考虑用定积分表达时，确定所求量Q的定积分表达式的步骤为[1]：

(1)根据实际问题的具体情况，选取某个变量，例如x为积分变量，并确定它的变化区间[a,b]；

(2)在区间[a,b]上任取一个代表性小区间，并记作[x,x+dx]，求出相应于这个小区间的部分分量ΔQ的近似值，即如果ΔQ能近似地表示为f(x)dx，并使它与ΔQ只相差一个比dx高阶的无穷小(一般地说，f(x)是连续函数就能满足这个要求)，则称f(x)dx为所求量Q的元素(或微元)，记作dQ=f(x)dx；

(3)以dQ=f(x)dx为被积表达式，在区间[a,b]上作定积分，便得所求量Q的定积分表达式Q=f(x)dx，上述方法称为定积分的元素法。

当所需求的总量具有可加性的时候，如一些几何、物理问题，都可以直接用元素法来进行求解，关键是适当选取积分变量和元素。

利用重积分解决问题时，也是要求出相应的元素f(x)dσ，如求转动惯量时，写出转动惯量元素dIx=y2μ(x,y)dσ，就得到

文王适逢商周改朝换代大变革时代，他在囚牢里演绎《周易》而被后人冠以“圣人”。传说在周朝初期，《周易》为周天子的家藏密传书，是传给子孙后代修身养性齐家治国平天下的智慧学。孔子说他五十而研易，大约在孔子时期，《周易》开始从官家流落到民间，孔子才得到接触《周易》的机会。孔子的《十翼》是对《周易》阴阳消长对立统一哲学内核的挖掘和重要诠释，在易学史上具有承前启后的划时代意义，然而只是在《卦序传》中留下了遗憾的缺陷。本文为《易经》最新研究成果，修改后的《易经》64卦卦序，符合文王卦辞／爻辞内容的排序逻辑。比干八宫揭示：

1 元素法在曲线积分上的应用

1.1 对弧长的曲线积分

抛开实际意义，对于函数f(x,y)所对应的积分称为函数f(x,y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分，并记作

建立坐标系，设曲线弧由参数方程给出，L光滑，曲线上任一点的线密度为ρ(x,y)是连续函数，且φ′2(t)+φ′2(t)≠0。

用元素法求解之，在L上任取一点，并取弧元素ds，得质量元素

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所以，所求构件的质量值就是定积分

引例1 质量分布非均匀的平面曲线形构件的质量。

先说张雨生杂文之重。话题深重，包括深厚与深广。他敢于直面现实，不回避敏感问题。立论稳重，不过甚其辞，不顾此失彼，却能一语中的。例如，有的“富二代”自称为“第二代企业家”，张雨生说：“刚从父辈手里接过企业管理权，就要称‘家’，实在太早了。能成为企业家的，将来肯定会有。被淘汰的，成为败家子的，也肯定不少。”如此立论，可谓客观真切精准。因为话题深重，立论稳重，他的杂文就显得厚重。

即因为函数f(x,y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分就是一个定积分，所以定积分具有的性质都适合之(略)，上式不仅给出了定义，也给出了计算方法。

1.2 对坐标的曲线积分

引例2 变力沿曲所做的功。

设稳定流动的、不可压缩的流体(假定体密度ρ=1)的速度场由(3)式给出。

威尼托主要的红葡萄品种有科维纳、罗蒂妮拉（Rondinella）和莫琳娜（Molinara）以及梅洛。用于酿造阿玛洛尼的主要葡萄品种就是科维纳。阿玛罗尼红葡萄酒是五大意大利著名葡萄酒“ABBBC”中的一员，也是威尼托产区最负盛名的葡萄酒。此酒虽然是干型，但常常尝起来有甜味，口感非常浓郁，酸度偏高，酒精度也较高，还带有黑樱桃、红糖和巧克力等香味，陈年潜力很高，很受重口味的酒客所偏爱。阿玛罗尼葡萄酒的酿造过程比普通葡萄酒复杂得多，它是用风干的葡萄酿造出来的干红葡萄酒。酿造一瓶阿玛罗尼葡萄酒所需要的葡萄是普通葡萄酒的两倍多，所以价格并不低。

所以，所求构件的质量值就是二重积分

因为函数f(x,y,z)在曲面Σ上对面积的曲面积分就是一个二重积分，所以二重积分具有的性质都适合之，上式不仅给出了定义，也给出了计算方法。

“也不是的，我二三十岁时很想结婚。但最初的几次婚姻，更像是彩排。后来，我找到了能过一辈子的女人，是她遏制了我结婚或离婚的惯性，但她婚后几个月就死了。”

=P[φ(t),φ(t)]φ′(t)dt+Q[φ(t),φ(t)]φ′(t)dt

2〉 对只要求按╳╳容量设计时，要按远近结合原则做好总体规划，不人为堵死扩建条件，又不因要留发展而多征或早占地与增加电厂本期工程投资。对有扩建条件的场地，不应将本期工程的辅助生产建、构筑布置在厂区扩建端，不应为扩建留有限制条件。为了控制工程造价，应以“近期工程为主、兼顾远期工程”的原则处理好本期与下期工程的关系。

(1)

所以，变力沿曲线所作的功值就是定积分

W={P[φ(t),φ(t)]φ′(t)+Q[φ(t),φ(t)]φ′(t)}dt=P[φ(t),φ(t)]φ′(t)dt+Q[φ(t),φ(t)]φ′(t)dt

翠姨很喜欢我，因为我在学堂里念书，而她没有，她想什么事我都比她明白。所以她总是有许多事务同我商量，看看我的意见如何。

(2)

注意到(1)式中的两项与(2)式中的两项是对应的。

抛开实际意义，将函数P(x,y)、Q(x,y)所对应的积分P[φ(t),φ(t)]φ′(t)dt、Q[φ(t),φ(t)]φ′(t)}dt分别称为函数P(x,y)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分和函数Q(x,y)在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分，并分别记作

两个人说着，吃完喝完之后，打的来到付玉的住处，这个小区并不靠海，在金牛岭的后面。付玉住在一栋楼的八楼。

即

因为函数在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分就是一个定积分，所以定积分具有的性质都适合之。上式不仅给出了定义，也给出了计算方法。

2 “元素法”在曲面积分上的应用

2.1 对面积的曲面积分

引例3 质量分布非均匀的曲面形构件的质量。

建立坐标系，设具有质量的光滑曲面Σ的方程z=z(x,y)，(x,y)∈Dxy，Dxy为Σ在xOy平面上的投影区域，Σ的面密度为μ(x,y,z)(连续函数)，要求此曲面形构件的质量。

用元素法求解之，在Σ上任取一点，并取包含这一点的面积元素dS，得质量元素

用元素法求解之，在L上任取一点，并取有向弧元素得功元素

“怀旧”，是一种心理体验，带有强烈的个人或集体情感，意为“怀念往事、故人或过去的美好时光；同时，怀旧也是当今社会中，极为热门的文化现象之一。[27]3-6“怀旧”成为了近年中国流行乐坛的一大主题。[28]71本文对2000年前就已经走红，且活跃到2010年代仍在举办个人演唱会，在台北/北京举办演唱会场次总数达到10场以上的歌手（含组合）进行了统计。②江蕙出道时间较早（1981年），截至2015年12月31日，共举办了33场个人演唱会，在统计中，其开办演唱会的数量位居第四，因此本文也将其列为观察对象。

抛开实际意义，对于函数f(x,y,z)所对应的积分称为函数f(x,y,z)在曲面Σ上对面积的曲面积分，并记作

① 锚杆采用TRUSS单元中的T3D2单元来模拟，杆单元能够承受沿着杆方向的拉力和压力，与预应力锚杆受力性能相同。

即

dW

2.2 对坐标的曲面积分

引例4 单位时间内流向曲面一侧的流量问题。

设曲线弧为平面xoy内的光滑曲线，由参数方程给出(φ′2(t)+φ′2(t)≠0)，弧L上的任一质点M(x,y)受到力的作用，从A点(对应t=α)沿曲线弧L移动到B点(对应t=β)，函数P(x,y)，Q(x,y)在L上连续。

(3)

其中，Σ是速度场中一片有向曲面，求在单位时间内流向Σ指定侧的流量Φ。

如果流向与所取面积元素dS的法向量方向夹角小于900，则流量为正流量，如果超过900，则流量是负流量，如果等于900，则流量为零。流体流过所取面积元素dS的流量可以分解成与直角坐标系坐标轴平行的三个方向的流量总和。其次，约定和x轴同向的侧为前侧，反向的侧为后侧，同理，与y轴、z轴相对应的分别为右侧、左侧和上侧、下侧。任何一个分片光滑曲面总可以分解成针对x轴的前侧、后侧，针对y轴的右侧、左侧，针对z轴的上侧、下侧。

另外，建立坐标系，设光滑有向曲面Σ在xOy平面上的投影区域为Dxy，在yOz平面上的投影区域为Dyz，在zOx平面上的投影区域为Dzx。

用元素法求解之，先求出平行于z轴的流量，任取光滑有向曲面Σ的面积元素dS，dS在xOy平面上的投影区域的对应的面积元素为dσ，流体沿z轴方向穿过dS的流量与沿z轴方向穿过dσ的流量是相等的。进而流体沿z轴方向穿过Σ的流量与沿z轴方向穿过Σ在xOy平面上的投影区域为Dxy的流量是相等的。

设Σ的方程为z=z(x,y)，(x,y)∈Dxy，在Σ上任取一点(x,y,z)，并取包含这点的面积元素dS，沿z轴方向穿过Σ的流量元素dΦ=R(x,y,z)dσ=R(x,y,z)dxdy=R[x,y,z(x,y)]dxdy，所以，沿z轴方向穿过Σ的流量为沿z轴反方向穿过Σ的流量为都是二重积分。

把这两个式子合记为并称为函数R(x,y,z)在有向曲面Σ上对坐标x，y的曲面积分。

燕麦种质资源引进与主要农艺性状比较研究………………………………………… 赵彦慧，王照兰，杜建材，刘佳月，李景环（1）

也就是其中，当Σ取上侧时，右端二重积分前取正号，当Σ取下侧时，右端二重积分前取负号。

类似地，有

(前正后负)

(右正左负)

综上所述，单位时间内流向曲面一侧的流量为：

因为函数在曲面Σ上对坐标的曲面积分就是一个二重积分，所以二重积分具有的性质都适合之。

3 结 论

以上对教学内容处理是利用元素法把所解决的问题转化为定积分应用和二重积分应用，轻而易举地解决了问题。为了在其他方面与教材的内容一致，也巧妙给出了定义与记法，将定义与计算相结合便于学生理解和掌握，对以后教学实践有一定指导意义。

[参考文献]

[1] 刘浩荣，郭景德.高等数学:上册[M].上海：同济大学出版社,2014：282-283.

[2] 刘浩荣，郭景德.高等数学:下册[M].上海：同济大学出版社,2014：186-223.

[3] 刘玉琏，傅沛仁，林玎，等.数学分析讲义:下册[M].北京:高等教育出版社,2003:358-400.

[4] 同济大学数学系，高等数学:下册[M].北京:高等教育出版社,2008:185-225.

[5] 同济大学数学系，高等数学:上册[M].北京:人民邮电出版社,2016:198-199.