交换半环上全矩阵代数的局部Jordan导子

1.引言与预备知识

关于Jordan导子的研究一直是国内外众多学者关注的热点问题，其中“Jordan导子什么时候退化成导子”已被许多学者讨论。由局部Jordan导子的定义可知，Jordan导子一定是局部Jordan导子，局部Jordan导子不一定是Jordan导子。而近来，赵延霞[1]通过对交换幺环上全矩阵代数的Jordan导子和局部Jordan导子的研究，证明了交换幺环上的全矩阵代数上的每一个Jordan导子都是内导子，每一个局部Jordan导子也都是内导子。对于交换半环上全矩阵代数的局部Jordan导子是否也有类似的结论呢？本文的研究旨在解决这个问题，并得到肯定的答案。

定义1[2]：半环R=(R,+,·,0,1)是满足下列性质的一种代数结构：

(1) (R,+,0)是一个交换幺半群；

(2) (R,·,1) 是一个幺半群；

(3) 对任意的a,b,c∈R，均有a·(b+c)=a·b+a·c,(a+b)·c=a·c+b·c；

(4) ∀a∈R,0·a=a·0=0；

总之,课堂教学是不应该有固定的模式的,因为教学的内容,对象是十分具体的,也是千变万化的,“学生主动参与的教学策略”只是提供了改革原有课堂教学的基本思路,具有定的原则性,而在应用时,要根据教师本身,教学对象及教学内容的特点进行教学,灵活安排,不拘泥于某一固定模式,机械搬用,以促进学生主动参与、促进学生发展为原则更好地发展学生的自主性和创造性。

半环R称为交换半环，如果∀a,b∈R,均有ab=ba。

半环R称为2-非挠的，如果对于任意的a,b∈R,如果2a=2b，那么a=b。

东海的小海鲜质感极其细腻、鲜嫩，烹制时不宜过于成熟，以八成熟为最宜，最多不能超过九成熟。尤其在调料加入稍多的情况下，调料对肉质会起到蛋白质变性的作用，过熟会显得肉质特别发死、发柴、发硬。

定义2[2]：设R是一个半环，(M,+,0M)是一个可交换的幺半群，如果存在一个映射：R×M→M,(r,m)→rm，对于∀满足：

(1)

(2)

(1) 对于线性映射δ：A→A，如果对于∀a,b∈A，均有δ(ab+ba)=δ(a)b+aδ(b)+δ(b)a+bδ(a)，则称δ是一个Jordan 导子。

(4) 1Rm=m;

引理3[4]:设R是一个2-非挠的交换半环,且R中不存在非零的加法幂等元，δ是Mn(R)上的一个Jordan导子，同时记其中那么有:

则称M为左R-半模。

定义3[3]：设R是一个交换半环，(A,+,·,0,1)是一个半环。如果(A,+,0)是一个左R-半模，且满足∀r∈R,x,y∈A，均有r(xy)=x(ry)，则称A是R上的一个代数。

4．语料库设计须遵循开放性原则。敦煌文献多模态语料库应该是一个开放的资源平台，它可以与其他系统、软件关联和配合，并可由其他软件对其进行修改、升级、组装［6］4-5。因此应采用国际统一的编码体系和通用置标语言。

定义4[4]：设R是一个交换半环，Mn(R)是由R上所有n阶矩阵构成的集合。对于A=(aij),

B=(bij)∈Mn(R)， a∈R，定义

不难验证，(Mn(R),+,On)对于纯量乘法构成一个左R-半模，称为交换半环R上的矩阵半模，其中零元On是n阶零矩阵。而(Mn(R),+,·,On,In)是交换半环R上的一个代数，称为交换半环R的全矩阵代数。本文将第(i,j)处元素为1、其它位置的元素均为0的n×n矩阵记作eij。

“乡亲们，5组的金银花要除草……”基地巡逻员齐立财用手机发出信息。不到20分钟，10多位村民赶来挥锄除草。一条信息为何有如此号召力？齐立财说：“所有基地都有村民的股份，一花一果，都牵连红利多少。”

定义5[4]：设R是一个半环，r∈R，如果在R中存在一个元素s使得r+s=0，则称r为半环R的一个可反元，此时称s为r的一个反元。

容易验证，可反元r的反元是唯一的,记为-r。设a,b∈R，b是R的可反元，定义a-b=a+(-b)。

定义6[4]：设R是一个交换半环，M=(aij)n×n∈Mn(R),如果M中的每一个元素aij都是R中的可反元，那么称M在Mn(R)中是可反的，这时称(-aij)n×n为M的反矩阵，记为-M。

定义7：设A是R上的一个代数。

(3)

(2) 对于线性映射δa：A→A，如果对于∀a∈A，存在一个仅依靠于a的Jordan导子δa,使得δ(a)=δa(a)，则称δa是一个局部Jordan 导子。

2.主要结果及其证明

证明：(1)如果E是Mn(R)上的一个幂等元，那么E=E2。因为δ是Mn(R)上的一个局部Jordan导子，那么存在一个仅依靠于E的Jordan导子δE，使得δ(E)=δE(E)。因此，由引理2.1有：

(5) 0≠1。

引理2：设R是一个2-非挠的交换半环，δ是Mn(R)上的一个局部Jordan导子。

(1)如果E是Mn(R)上的一个幂等元，那么δ(E)=δ(E)E+Eδ(E)。

2.4 lncRNA ASB16-AS1能促进胶质瘤细胞增殖、侵袭、迁移能力 在LN382和U87MG两个细胞系上RTCA增殖实验证实NC组增殖速度明显快于silence组(见图2B、图2C)。Transwell侵袭迁移试验证实，NC组细胞侵袭、迁移能力明显高于silence组(见图3A、图3B)。划痕试验证实沉默lncRNA ASB16-AS1后划痕愈合速度明显慢于阴性对照组(见图4)。结果表明lncRNA ASB16-AS1能促进胶质瘤细胞增殖、侵袭和迁移能力。

(2)如果E3=E，E∈Mn(R)，那么δ(E)=δ(E)E2+Eδ(E)E+E2δ(E)。

引理1[4]：设R是一个2-非挠的交换半环，A是半环R上的一个代数，δ是A上的一个Jordan导子。那么对于∀a∈A，均有δ(a2)=δ(a)a+aδ(a)。

δ(E)=δE(E)=δE(E2)=δE(E)E+EδE(E)=δ(E)E+Eδ(E)。

(2)因为δ是Mn(R)上的一个局部Jordan导子，那么存在一个仅依靠于E的Jordan导子δE,使得δ(E)=δE(E)。如果E=E3，那么：

δE(E·E2+E2·E)

=δE(E)·E2+EδE(E2)+δE(E2)E+E2δE(E)(Jordan导子的定义)

=δE(E)·E2+E(δE(E)E+EδE(E))+(δE(E)E+EδE(E))E+E2δE(E)(由引理2.1)

=δE(E)·E2+EδE(E)E+E2δE(E)+δE(E)E2+EδE(E)E+E2δE(E)

=2(δE(E)·E2+EδE(E)E+E2δE(E))

而δE(E·E2+E2·E)=δE(2E3)=2δE(E3)，所以2δE(E3)=2(δE(E)·E2+EδE(E)E+E2δE(E))。由于R是一个2-非挠的交换半环，所以δE(E3)=δE(E)·E2+EδE(E)E+E2δE(E)。

因此，δ(E)=δE(E)=δE(E3)=δE(E)·E2+EδE(E)E+E2δE(E)=δ(E)·E2+Eδ(E)E+E2δ(E)。

互易性检查的目的是验证该飞轮是否符合试验要求。试验方法是以测点12作为参考点时，激励测点10得出响应曲线；以测点10作为参考点时，激励测点12得出响应曲线。互易性越好，测试的数据越可靠，互易性检测如图6所示。

(5) r0M=0M=0Rm;

据报道，现在市面上有些八角中混入了莽草的果实，食用过多会导致中毒，所以要特别注意。大家可以通过以下几个方面进行辨别：第一，莽草的果实一般是10个角以上，果瓣不会张开，每个角尖细、瘦弱，还会上翘；第二，八角果柄较长，弯曲，其果实外露，莽草果柄较短，平直而微弯，其果实比较封闭；第三，味道方面，八角吃在嘴里是甜的，味道醇香，莽草的果实咬下去是花露水的味道，吃在嘴里会苦，发酸，舌头有麻木感。

引理4：设R是一个2-非挠的交换半环，δ是Mn(R)上的一个局部Jordan导子，同时记其中那么

证明：因为由引理2得：

对比等式两边，有:再由R的条件，可得：

一张好照片，应该在思考和情感上都留给人一定的想象空间。有时不完整的“开放式”构图会使照片本身蕴含更多画面之外的意义，审美思维从封闭转向开放，注重画内外空间的联系，引导人们突破画框限制产生联想，从而增加画面的容量。虚实层次，是一种将现实中的“错落”关系带入画面的最好方式。如果处理得当，一个细微的动作、一种清爽的色彩、一个虚幻的空间场景，都能展现出强烈的情绪、状态、氛围以及故事性，引发观者的好奇和想象。

所以

引理5：设R是一个2-非挠的交换半环，δ是Mn(R)上的一个局部Jordan导子，那么存在一个可反矩阵M，使得(δ-adM)(eii)=0，i=1,2,…，n。

证明：因为(eii+ejj)2=eii+ejj,∀i≠j，所以由引理2可知：

δ(eii+ejj)

监督环节不完善，过程把控不足。经实践调查研究发现，现阶段在我国食品检验检测体系当中，缺乏必要的监督管理机制。具体而言，把食品安全检查的注意力放到了最后，而对食品原材料则关注不够。另外，我国的食品安全检测管理部门对小型私营企业也不够关注，尤其是对小作坊关注度极低，在这种情况下，小型企业所生产加工出的食品安全性将很难得到保障。从审查主体的角度分析，当下审查机构所运用的方式方法已经很难满足食品检测工作的需求，一些领域的食品检查机构不重视果蔬农残等的监督检查，从而导致不安全食品流入市场。

=δ(eii+ejj)(eii+ejj)+(eii+ejj)δ(eii+ejj)

=(δ(eii)+δ(ejj))(eii+ejj)+(eii+ejj)(δ(eii)+δ(ejj))

而

对比两式，可得

由R的条件，可得：

因此，

《学员研修反思报告框架》分为三部分，第一部分为学习准备，学员需要思考“最困扰我的问题是什么？我认为问题对自己未来的价值是什么？为解决这个问题目前做了哪些努力？未来还计划怎样更有效地解决？”等；第二部分为学习过程，反思“与专家、同伴交流后解决了什么？我的改变是什么？哪些方面是我没有关注到的？没有关注到的原因是什么？”等；第三部分为学习结果部分，学员需要思考“培训后我发生了哪些变化？哪些方面仍存在困惑？对余下的学习有何计划？”等。

可设可反矩阵 则：

2016年12月15日，银隆完成第三轮融资，董明珠以10亿元注资，持有7.46%股权，并在此后通过两度增资，股权比例增加至17.46%，成为银隆第二大股东。而万达、京东、中集集团等4家企业也和董明珠同时入股，成为银隆股权持有者，银隆第三轮融资总额合计30亿元。

(δ-adM)(eii)

=δ(eii)-adM(eii)=δ(eii)-(Meii-eiiM)

=

=

由引理3，可设：

=

=0。

引理6：设R是一个2-非挠的交换半环，且R中不存在非零的加法幂等元，δ是Mn(R)上的一个局部Jordan导子，如果δ(eii)=0，i=1,2,…，n,那么存在一个bij∈R，使得δ(eij)=bijeij,1i≠jn。

证明：因为δ是Mn(R)上的一个局部Jordan导子，那么存在一个仅依靠于eij的Jordan导子δeij，使得δ(eij)=δeij(eij)。

=

因为(eii+eij)2=eii+eij,所以由引理2可知：

δ(eii+eij)

=δ(eii+eij)(eii+eij)+(eii+eij)δ(eii+eij)

=(δ(eii)+δ(eij))(eii+eij)+(eii+eij)(δ(eii)+δ(eij))

高等数学课程作为一门基础课，所起到的作用主要是为学生学习后续专业课提供必需的数学基础知识，以保证专业课教学的顺利进行。比如在工程造价专业里需要用到有关计算利率的指数函数等知识；如果你是电气电工专业的学生，就必须知道导数、微积分以及工程数学的相关知识；而机械专业的学生必须对定积分的几何应用、概率、密度函数和方差等知识有基本了解，才能更好地进行机械制造技术的学习。因此，我们可以说，掌握高等数学知识对后续专业课的学习起到很重要的作用，高等数学知识为大学生所必需，而高等数学则是高职院校中一门重要课程。

=δ(eij)(eii+eij)+(eii+eij)δ(eij)

而δ(eii+eij)=δ(eii)+δ(eij)=δ(eij)，所以

对比等式两边，有:biieii=biieii+biieii，再由R的条件，可得：bii=0，即

另一方面，又因为(eij+ejj)2=eij+ejj,所以由引理2可知：

δ(eij)

=δ(eij+ejj)=δ(eij+ejj)(eij+ejj)+(eij+ejj)δ(eij+ejj)

教师主要以课堂教学的知识和理论基础为基础，与直接获得实际和实践能力的生产和科研实践相分离。因而，通过实践教育基地的建设，给教师搭建了产学研合作的平台，不仅扩宽了教师的视野，实现知识的转化，而且还能提高教师的科研水平；同时，企业也获得了人才、技术的有力支持，对于提高企业新技术、新产品的开发有了进一步的保障。

=δ(eij)(eij+ejj)+(eij+ejj)δ(eij)

=bijeij+bjjejj+bjjejj+bjjeij,

对比等式两边，可得: bjjejj=bjjejj+bjjejj，再由R的条件，有bjj=0。因此，δ(eij)=bijeij。

引理7：设R是一个2-非挠的交换半环，且R中不存在非零的加法幂等元，δ是Mn(R)上的一个局部Jordan导子，如果δ(eii)=0，i=1,2,…，n，那么存在一个可反矩阵D∈Mn(R)，使得：

(δ-adD)(ei,i+1)=0,(δ-adD)(ei+1,i)=0,1in-1，且(δ-adD)(eii)=0，1in。

证明：由引理6，当δ(eii)=0，i=1,2,…，n时，δ(eij)=bijeij。

因为(eij+eji)3=eij+eji,所以由引理2(2)，有：

δ(eij+eji)

=δ(eij+eji)·(eij+eji)2+(eij+eji)·δ(eij+eji)·(eij+eji)+(eij+eji)2δ(eij+eji)

=(δ(eij)+δ(eji))·(eii+ejj)+(eij+eji)·(δ(eij)+δ(eji))·(eij+eji)+(eii+ejj)(δ(eij)+δ(eji))

=(bijeij+bjieji)·(eii+ejj)+(eij+eji)·(bijeij+bjieji)·(eij+eji)+(eii+ejj)(bijeij+bjieji)

=bjieji+bijeij+(bijeji+bjieij)+bijeij+bjieji

=(bij+bji+bij)eij+(bji+bij+bji)eji

而δ(eij+eji)=δ(eij)+δ(eji)=bijeij+bjieji，所以bij=bij+bji+bij,bji=bji+bij+bji。

因此，bij+bji=(bij+bji+bij)+bji=(bij+bji)+(bij+bji),再由R的条件，可得：bij+bji=0。

所以，bji=-bij。

可设可反矩阵D=-diag(0,b12,b12+b23,…,b12+b23+…+bn-1,n)，则：

(δ-adD)(eii)=0-(Deii-eiiD)=0,1in;

(δ-adD)(ei,i+1)=bi,i+1ei,i+1-(Dei,i+1-ei,i+1D)=

1in;

(δ-adD)(ei+1,i)=bi+1,iei+1,i-(Dei+1,i-ei+1,iD)

=in。

引理8：设R是一个2-非挠的交换半环，且R中不存在非零的加法幂等元，δ是Mn(R)上的一个局部Jordan导子，如果δ(ei,i+1)=0,δ(ei+1,i)=0,1in-1，且δ(eii)=0，1in，那么：

δ(ei,i+k)=0,δ(ei+k,i)=0,∀ei,i+k,ei+k,i∈Mn(R)。

证明：由引理6，当δ(eii)=0，i=1,2,…，n时，δ(eij)=bijeij。

当k=2时，因为

(ei,i+1+ei+1,i+2+ei,i+2+ei+1,i+1)2=ei,i+1+ei+1,i+2+ei,i+2+ei+1,i+1，所以：

δ(ei,i+1+ei+1,i+2+ei,i+2+ei+1,i+1)

=δ(ei,i+1+ei+1,i+2+ei,i+2+ei+1,i+1)·(ei,i+1+ei+1,i+2+ei,i+2+ei+1,i+1)+(ei,i+1+ei+1,i+2+ei,i+2+ei+1,i+1)·δ(ei,i+1+ei+1,i+2+ei,i+2+ei+1,i+1)

=δ(ei,i+2)·(ei,i+1+ei+1,i+2+ei,i+2+ei+1,i+1)+(ei,i+1+ei+1,i+2+ei,i+2+ei+1,i+1)·δ(ei,i+2)

=bi,i+2ei,i+2·(ei,i+1+ei+1,i+2+ei,i+2+ei+1,i+1)+(ei,i+1+ei+1,i+2+ei,i+2+ei+1,i+1)·bi,i+2ei,i+2=0,

而δ(ei,i+1+ei+1,i+2+ei,i+2+ei+1,i+1)=δ(ei,i+1)+δ(ei+1,i+2)+δ(ei,i+2)+δ(ei+1,i+1)=δ(ei,i+2)，因此，δ(ei,i+2)=0。

类似的，由(ei+1,i+ei+2,i+1+ei+2,i+ei+1,i+1)2=ei+1,i+ei+2,i+1+ei+2,i+ei+1,i+1可得：δ(ei+2,i)=0。

假设δ(ei,i+m)=0,δ(ei+m,i)=0,m=2,3,…,k-1。

因为ei,i+1+ei+1,i+k+ei,i+k+ei+1,i+1与ei+1,i+ei+k,i+1+ei+k,i+ei+1,i+1均为幂等元，所以类似于k=2，经计算可得: δ(ei,i+k)=0,δ(ei+k,i)=0。

因此，由数学归纳法可知: δ(ei,i+k)=0, δ(ei+k,i)=0, ∀ei,i+k, ei+k,i∈Mn(R), 即δ(eij)=0。

定理1:设R是一个2-非挠的交换半环，且R中不存在非零的加法幂等元，那么Mn(R)上的每个局部Jordan导子都是内导子。

证明：令δ是Mn(R)上的一个局部Jordan导子，那么由引理4到引理8可得：存在可反矩阵M,D∈Mn(R)，使得(δ-adM-adD)(eij)=0,1i,jn。也就是说δ=adM+adD=ad(M+D)，所以δ是Mn(R)上的一个内导子。

参考文献:

[1]ZHAO Y X. Jordan derivations and local Jordan derivations on full matrix algebras over commutative rings[J]. Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Nankaiensis，2014，47(6):98-104.

[2]GOLAN J S. Semirings and their applications [M].London:Kluwer Academic Publisher，1999.

[3]陈培慈.半环理论与语言和自动机[M].南昌:江西高校出版社，1993.

[4]庄金洪. 交换半环上全矩阵代数的Jordan导子[J].龙岩学院学报，2017，35(2):35-39.