布尔函数零化子的两种求法分析

0 引言

2003年Courtois等［1］提出代数攻击以来，Toyocrypt、LILI-128等［2］序列密码相继被攻破，密码算法受到巨大威胁.而代数攻击是寻找布尔函数的零化子来建立低次方程组，进而获取密钥.因此对零化子求解算法的研究非常必要.

近年来，有很多关于零化子算法的研究成果［3-10］.文献［3］研究n元非线性布尔函数的特征矩阵列向量与代数次数的关系，给出布尔函数零化子的一种求法.文献［4］给出布尔函数零化子两种求法，并将一种方法应用在序列密码LILI-128体制中，分析其攻击效率和复杂度.文献［6］利用 f的零点集子空间，得到若 f有一个k维子空间，则零化子的代数次数为n-k的结论，文献［7］对文献［6］的算法加以补充，弥补其缺陷.文献［9］给出3种布尔函数零化子的算法，研究 f中单项式个数与算法复杂度的关系.本文在文献［3-8］基础上，研究2种零化子求法过程，通过比较得出它们之间差别和优异.

1 预备知识

设F2是二元域，n元布尔函数是的映射，记Bn是n元布尔函数所组成的集合.任意的代数正规型（ANF）可表示为

 

其中，ANF中变量最多单项式数为的代数次数，记作定义的支撑集为，简记为1f，零点集为，简记为0f，若，则称是平衡布尔函数.

1.2 方法 对于女方筛查结果为携带者的家庭进行电话随访及门诊咨询建议配偶进行进一步基因检测。配偶的检测方法为芯片筛查结合相应基因序列分析，而由于GJB2基因序列短及突变率高，所有基因序列分析均进行GJB2及相应基因检测。

定义1［2］ 若 f,g∈Bn，且 f⋅g=0，则称g为 f的零化子，记 f零化函数集合为：

 

定义2［3］ 若 取值为1，否则为0，则 f(x)小项表示为：

同理可得

 

且称

 

为的特征矩阵，其中 c(i)≠c(j)，i≠j，1≤i,j≤k.

1.1 研究对象 选取我院2016年1月-2017年12月门诊及住院高血压视网膜病变患者100例（200眼）作为研究对象。所有参选患者均为原发性高血压视网膜病变患者，符合 《中国高血压防治指南2010》[8]高血压诊断标准及HR的Keith-wagen-er-Barker四级分类法，排除患者糖尿病，肝肾疾病，自身免疫系统及血液病等疾病。医院医学伦理委员会批准临床研究方案，且所有研究对象均签署知情同意书。

当，可得

引理1［2］ 若 f,g∈Bn，g为 f的零化子充要条件是1f⊆0f.

弱电网下并网逆变器自适应H∞控制方法//马兴,徐瑞林,陈民铀,何国军,付昂,董光德//(13):189

化简得：

 

2 两种零化子的求法和实例

方法1：设，且令d≤n，选取，设，且是X的第i1,i2,…,id个分量值，X∈1f，有对所有Xi∈1f，选取n维的Yi,j，保证在Xi中的d个位置分量保持不变，其余跑遍，这样可得到2n-d个n维向量，把它们记作. 令，且

(1)在地下车库外围四周设置断面为300 mm×250 mm的排水沟，在排水沟中每间隔30 m设置1个300 mm×300 mm×500 mm的集水井。

有人说，“大数据公然蔑视传统的数据保护方法”③。的确，大数据的挖掘、收集、传播、利用以及个人信息保护等都与传统的数据利用与保护有着极大不同，其所隐含的诸多问题已突破了现有的法律框架。一方面，技术创新引领社会变革，我们必须承认大数据所带来的社会价值和效用;另一方面，随着大数据应用越来越广泛，难以预知的风险尤其是对私人数据利益的损害必然相生而来，而法律的功能之一在于通过制定规则，界分权利和义务，以平衡不同利益相关者的利益，使风险损失有所预期。

因为，有，故是的低次零化子.

例1

经验证显然为平衡函数，的特征矩阵为A，则有：

 

定义3 设V为的k维子空间，令且s≠0，则集合叫做的k维仿射子空间.

当d=3，利用A的1,2,3列：

 

因此可得：

蝉蜕蛋白的提取工艺优化及体外抗氧化活性研究…………………………………………………… 李 涛等（7）：968

 

故

 

令

 

从A得

 

中央合作金库为专业合作金融机构，其业务“以调剂合作事业资金”为宗旨，业务对象“以专营或兼营之各级合作社、合作团体及合作业务机关为限。”在国民政府支持之下，合作贷款业务又得以扩大，1948年，中央合作金库农业合作贷款全国总额达3万亿元，主要为生产贷款，贷款区域覆盖全国20个省，形成近代中国农业合作金融的新高潮。中央合作金库贷款资金来源，“由中央银行以9折转抵押(转押息4分5)方式分月垫借，其余1成，由中央合作金库自筹。”[20]贷款资金仍然高度依赖国家银行，农业合作事业受国家金融控制的命运仍然无望改变。

 

故零化子次数：

定理 1［4］ 设，对于取定Sd，构造：

 

因为对于，可得所以的3个低次零化子，且

 

方法2：

引理2［6］ 令 S 为的子空间，且有，S中的一切元素作为行构成的矩阵记作M，如果M中 j列不为零，则第 j列中0和1的个数相等.

定理2［6］ 设，如果S的零点集中包含一个k维子空间，那么有零化子且代数次数为n-k.

例2 .显然平衡的零点集有3维子空间：

 

令

 

由定理2得为的5-3=2次零化子，并且有：

 

由定义2得：

时代向当代中国美术家提出一个严肃的历史任务：要表现一个世纪以来中华民族的灾难、屈辱、抗争、胜利、进步。把民族的特殊经历和心路历程昭示于世界、警策后人。

 

定义4［2］ 设，定义 f的代数免疫阶为：

 

因此零化子次数：

3 两种方法的差异和复杂度分析

以下利用表格给出求解零化子的两种方法的差异和复杂度：

 

表1 2种方法求 f(x)零化子的比较结果

  

零化子的最低次数方法方法1方法2方法操作性有缺陷、复杂操作良好、简单3 2计算量估值（乘法）2 5 7 3 8

方法1利用输入变量的值，求解布尔函数零化子的方法在于构造零化函数，通过零化的特征矩阵列向量，若特征矩阵行向量个数r，且r≤2d，则，那么零化函数的表达式结构相同，可用通式表示，但当时，恒等于0，此时无法得到零化子来建立低次方程组，故方法1存在一定局限性，需满足，故此方法有严重缺陷.方法2是利用零点集，利用计算软件MAPLE找到零点集中维数最大的子空间或者放射子空间，进而根据布尔函数的小项表示法得到低次零化子，同方法1比较，无任何局限，且思路简单，求解过程方便.

音乐剧的演唱是人物在剧情中的台词，绝不是像传统意义上的打开腔体，找到共鸣就能做到的，音乐剧的演唱还会受人物性格，故事情节等因素影响，动情的诉说就是音乐剧最打动人的演唱。

密码体制中所求零化子代数次数越低，代数攻击越有成效.由以上2个实例得出，方法1中，方法二中，故使用方法2零化子代数次数更低，代数攻击能力更强.对于2种方法的计算量，据估算统计，方法1中乘法计算量（次数）260余次，而方法2仅有40余次，复杂度和计算量大大降低.因此相比较得出方法2在方法简洁及操作性、计算量、所求零化子次数3个方面都较优.

参考文献：

［1］COURTOIS N，MEIER W.Algebraic attacks on stream ciphers with linear feedback［C］//Lecture Notes in Computer Sci⁃ence：Advances in Cryptology eurocrypt.Berlin：Springer，2003：345-359.

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［3］冀会芳，明永涛，刘文芬.利用特征矩阵求布尔函数的零化子［J］.信息工程大学学报，2007，8（1）：49-52.

［4］徐春霞，陈卫红，张风芹.布尔函数零化子的构造及其在流密码中的应用［J］.信息工程大学学报，2006，7（2）：126-127.

［5］刘福运，肖鸿，肖国镇.一种代数正规形快速变换的零化子算法［J］.西安电子科技大学学报，2009，36（5）：891-896.

对比剂流入感兴趣区的总量由曲线下面积(AUC)表示，正如在常规超声中看到的低回声区域一样，胰腺癌和胰腺炎肿块的AUC值远远低于正常组织，而二者之间没有明显差异，表明对比剂经过两种病灶的总量是相似的[29]。

［6］张文英，武传坤，于静之.密码学中布尔函数的零化子［J］.电子学报，2006，34（1）：52-54.

［7］祁传达，俞迎达.一类布尔函数零化子的代数次数［J］.电子学报，2012，40（6）：1177-1179.

［8］于坤，戚文峰.布尔函数的低次零化子研究［J］.计算机工程，2010，36（11）：114-119.

其余地区都存在综合效率不足的问题，其中荆门、咸宁和随州的农业发展规模报酬都是呈现递增状态，那么在今后的发展过程中应扩大农业生产的规模，同时注重农业生产技术的提高，从而达到纯技术效率有效的状态。

在2#转化器入口烟道弯头内部中心线处增加两套导流板，强制分流，减少气体偏流，如图2所示。通过增加导流板后2#转化器内不同位置的触媒温差减小。温差由改造前2016年2#转化器内部最大温差平均值201.5℃，降为2017年11月改造后的140.8℃，如表1所示。增设导流板改善了热应力不平衡，同时解决了因偏流造成的分层转化率偏低的问题。

［9］XIE Jia，WANG Tianze.Finding the annihilators of a Boolean function［J］.Acta Electronica Sinica，2010，38（11）：2686-2690.

引水调控工程的富营养化湖泊生态与环境效应研究始于20世纪60年代(表1)，中国和美国的小型富营养化湖泊均开展了相关研究。美国Green湖的引水工程显著降低了该湖的营养盐浓度水平和浮游植物含量，从而降低了湖泊水体的初级生产力水平，明显改善了湖体的富营养化状况[30]。玄武湖作为城市湖泊在20世纪60年代就已凸显出富营养化问题，水体流动性差，通过引入下关电厂冷却水对玄武湖进行换水，有效地增加了水体的流动性和溶解氧水平[31]。

［10］DING C.A construction of binary linear codes from Boolean functions［J］.Discrete Mathematics，2016，339（9）：2288-2303.