求解超对称张量秩-1逼近的BFGS方法

矩阵A∈RI×J，B∈RK×L的克罗内克积表示为A⊗B，

漏损率是指漏失量和总供水量的比值，其中漏失量为总供水量减去实际使用水量。漏损率高表明水在运输过程中损失多，供水效率低；反之漏水率低说明城镇供水效率高。我国是一个水资源分布不均、人均水资源短缺的发展中国家，降低漏损率很有必要。国家在2016年颁发了《城镇供水管网漏损控制及评定标准》（CJJ92—2016），对今后的城镇供水漏水提出了要求和目标，即在2017年供水管网漏水率达到二级标准12%，2020年达到一级标准10%。而根据《2014年城镇供水年鉴》调查，大部分省份的漏损率都超过了12%，一些省份漏损率甚至高达33%，可见我国的城镇供水效率还有待提高，供水公司压力巨大。

A⊗

矩阵A∈RI×K，B∈RJ×K的Khatri-Rao积为A⊙B，

要达到配电网自动化需不断强化配电网建设，使其具备安全的电源及网架，配电网线路的实际容量可互带且适宜分区段，并配备拥有智能控制及探测的开关或设备，保障配电网自动化技术的可维持性另外，由于负载或建设等层面的因素影响，配电网配电线路使程序养护的任务量增加，自动化系统可开展有序维护，增强供电质量及供电水平，保障电力传输的安全及平稳从这个角度看，拥有一套能实现可维持性的自动化系统对配电网运行是至关重要的。

 

矩阵A∈RI×J，B∈RI×J的Hadamard积为A*B，

A*

利用Khatri-Rao积

此外，邢孟志[14]从文字学、金石学视角出发提出，清初文字学、金石学家的研究，促使清代碑学运动自清早期开始萌芽，中期以阮元、包世臣为代表。扫尽帖学低眉柔靡之风、倡导碑学质朴雄强面貌的学术运动，仍是在篆隶书的领域展开的，而清代篆隶的复兴正是文字学、金石学研究的结果。碑学运动也是受文字学、金石学直接影响的产物，这一影响带来了书法理论和书法创作上审美取向的根本改变，这一改变丰富了书法创作的理论内容，拓展了书法创作的空间。

1)当a和b都为向量时，克罗内克积与Khatri-Rao积相等，即a⊗b=a⊙b；

2) A⊙B⊙C=(A⊙B)⊙C=A⊙(B⊙C)；

若I1=I2=…=IN，且元素bi1i2…iN在指标的任何排列下保持不变，则称张量β为超对称张量。

对于公路施工期噪声而言，在防治工作的开展上，可尝试从自然屏障的建立角度来出发，这样操作的好处在于，能够对噪声更好的吸收、把控，减少噪声造成的不良影响。首先，针对公路施工期噪声周边的区域，有效开展自然植被数量的增加，尤其是树木方面、河流方面，都要做出良好的布置，在丰富的大自然屏障当中，公路施工期噪声的应对和解决，能够取得最好的效果，促使未来的公路建设，得到较多的保障。其次，自然屏障的建立过程中，一定要选用具有针对性的植被来完成，部分较为脆弱的植被在使用过程中，不仅无法得到预期效果，还容易产生严重的经济损失，这对于公路施工期噪声防治而言，反而会产生相反的结果。

定义1 张量B=(bi1i2…iN)∈RI1×I2×IN的范数为

 

3) (A⊙B)T(A⊙B)=ATA*BTB。

考虑下述超对称张量秩-1逼近问题：

问题1 给定N(N≥3)阶实对称张量A∈RI×I×…×I，找到一个向量使得

。

在当前的部编版小学低年级语文教学的识字写字教学中，教学效果实际上并没有达到预期的目标。这就要求小学低年级语文教师要重视帮助小学生打好识字写字的基础，让小学生有效掌握教材中的识字学习内容，并且掌握写字的基本笔画与笔顺，切实提高识字写字课堂教学的效率。

2.品种结构逐步调整。养殖品种包括青、草、鲢、鳙、鲤、鲫、鳊、鲌、鲈、鮰、鳜、鳅、大鲵、鳖、龟等20余种经济鱼类。大鲵、黄缘闭壳龟等品种为国家和省级重点水生保护动物，已成为地方养殖特色品种。

超对称张量的秩-1逼近问题在机器学习、k阶数组因子分析、生物工程、盲源分离等领域均有广泛的应用[11]。Han[1]根据超对称张量的结构特征，将其秩-1逼近问题转化为无约束的多项式优化问题。Cui等[2]在多项式优化中使用Jacobian SDP松弛法，从最大的到最小的，依次找到所有的实特征值。Nie等[3]利用半正定松弛方法解决此问题。文献[4-7]给出了超对称张量的特征值的定义和性质，并用特征值方法解决了带约束条件的超对称张量的秩-1逼近问题。文献[8-9]提出了对称高阶幂法(S-HOPM)用于解决超对称张量的秩-1逼近问题，并证明了在目标函数是凸集的情况下，偶数阶张量逼近问题的收敛性。

鉴于此，利用超对称张量的结构特征和相关的矩阵理论，将问题转化成一个新的等价的无约束优化问题，并设计BFGS方法求解，用数值例子验证方法的可行性。

1 主要结果

这些矩阵乘积有以下性质[10]：

 

问题1可等价写成矩阵的形式

 

(1)

设计BFGS方法求解问题(2)，先给出一个引理。

 

 

 

 

 

 

*…*(xTx),x〉=

从而问题1可等价为

 

引入电机输入电能和机器人机械能耗指标后，即可以两种能量指标为参考进行拾放轨迹几何参数优化的仿真。仿真方法为遍历e和d，分别求出每组e和d对应的Erobot并进行比较，最小Erobot对应的e和d即为最优参数。仿真与实验采用标准Adept拾放曲线，鉴于拾放轨迹为“拾点→放点→拾点”的周期性重复运动，只采集半个周期“拾点→放点”的数据进行计算。

 

(2)

其中A∈RI×IN-1为实对称张量A的任意模展开。利用矩阵乘积的性质[10]对目标函数(1)进行如下变形：

引理1 d(X⊗Y)=(dX)⊗Y+X⊗(dY)，其中X、Y为任意阶的矩阵。

历史学习有着一定的时间限制，由于事件发生的时间相对较远，学生对当时的社会状况缺少一定的认识，不能对历史进行充分理解。但是科学技术的发展为教育教学提供了多媒体教学设备，教师可以通过多媒体信息技术为学生提供相关的历史视频与音频资料。例如在学习中国抗战胜利，中华人民共和国成立的课程内容时，教师可以通过视频资料的播放，让学生身临其境地感受祖国的伟大胜利。

定理1 问题(2)目标函数的梯度为

 

 

其中：为I阶的单位矩阵。

所以，当N=n+1时，

df(x)= 3(xTx)2xdx-A(x⊙x)dx-

(d(x⊙x))TATx，

由引理1可得，

d(x ⊙x)=(dx)⊗x+x⊗(dx)=

该基础的防水板与独立基础一样，通过素混凝土垫层与地基相连，相互影响，采用“抗”和“消”相结合的结构抗浮设计，该类防水板下设聚苯板软垫层一般能承担30%左右的上部荷载，通过调整软垫层，达到竖向向下合力作用下防水板的变形与独立基础沉降变形相对沉降差为零或最小，从而使防水板不承担或者承担最少量的地基反力，最终达到平衡受力状态。独立基础加防水板下设聚苯板软垫层的基础形式是独立基础和防水板整体浇注在一起，只要二者存在变形差异，就必须将相互影响，产生协调变形，存在内力重分布达到平衡受力状态。当独立基础沉降时，聚苯板软垫层收到压缩，防水板只受软垫层的弹力，因此不会开裂。

(E⊗x+x⊗E)dx。

所以，当N=3时，

 

 

显然是成立的。假设当N=n时，

 

 

成立。当N=n+1，

 

 

 

 

⊗⊗dx=

dFn-1(x)⊗x+Fn-1(x)⊗dx。

证明 用数学归纳法证明定理1。当N=3时，由微分法则可得，

对照组采用西医对症治疗，必要时可应用镇静剂、止吐剂、脱水剂、血管扩张药物进行治疗。观察组采用中医针灸辨证治疗，具体如下：

 

 

等式成立。

算法1 给定参数δ∈(0,1),σ∈(0,0.5)初始点x0∈Rn，终止误差0≤ε≤1，初始对称正定矩阵B0(通常取为G(x0)或单位矩阵En)，令k0。

1)计算若‖gk‖≤ε，停止运算，输出xk作为近似极小点。

2)解线性方程组的解dk，Bkdk=-gk。

（2）可抵扣的税额类型变少，物流企业以前可以抵扣的一些纳税项目后来变得不能抵扣了，可抵扣税额的类型严重缺乏，物流这个行业算是对劳动力的需求量非常大的行业，它的人力成本占公司的总体成本的比例非常大，在计算应纳税所得额的时候不可以被抵扣，所以会提高企业很大的税负。还有企业的融资的时候产生的费用也是在计算应纳税额时不可以扣除免税的。物流企业购入的那些大型的机器设备等固定资产的话，一般是几年十几年才更换一次，所以一般购入的数量会挺少的，因此能够抵扣的进项税额也是微不足道的。

3)设mk是满足下列不等式的最小非负整数m，

 

令αk=δmk,xk+1=xk+αkdk。

4)由矫正公式

 

确定Bk+1。

5)令kk+1，转步骤1)。

定理2 由算法1得到的序列{xk}收敛到问题(2)的临界点。

2 数值实验

在数值实验中，表示在第k次迭代时问题(2)目标函数的梯度，x*表示BFGS算法的临界点，算法的停机标准为‖gk‖=ε≤10-4,第k次相对误差超对称张量A随机生成，初始向量x0=rand(I)。每一次算法程序终止时，输出迭代步数S、CPU运行时间tCPU和Er,k。表1为当N=3和N=4的实验结果。从表1可看出，用BFGS方法求解超对称张量秩-1逼近问题是可行的。

 

表1 数值实验结果Tab.1 Numerical experiment results

  

N,IStCPU/sEr,kN=3,I=20190.109 22.623 1×10-13N=3,I=40220.171 65.043 4×10-15N=3,I=50230.358 84.977 7×10-16N=4,I=15270.452 45.669 6×10-16N=4,I=20250.936 06.103 9×10-15N=4,I=25311.775 27.229 6×10-16

3 结束语

利用矩阵乘积的相关性质和超对称张量的结构特征，将超对称张量的秩-1逼近问题转化为等价的无约束优化问题，并利用微分法则和求导法则推导出等价的无约束优化问题的梯度表达式，并设计BFGS算法求解此问题。数值实验表明，此方法是可行的。

2018年1月24日万科联合厚朴投资、高瓴资本、中银集团投资及普洛斯首席执行长梅志明所组成的财团顺利完成收购仓储营运商普洛斯（Global Logistic Properties简称 GLP）的交易。

参考文献:

[1] HAN L.An unconstrained optimization approach for finding real eigenvalues of even order symmetric tensors[J].Numer Algebra Control Optim,2012,3(3):583-599.

[2] CUI C F.All real eigenvalues of symmetric tensors[J].SIAM Journal on Matrix Analysis Applications,2014,35(4):1-20.

[3] NIE J,WANG L.Semidefinite relaxations for best rank-1 tensor approximations[J].SIAM Journal on Matrix Analysis Applications,2014,35(4):1155-1179.

[4] NI G,QI L Q,WANG F,et al.The degree of the E-characteristic polynomial of an even order tensor[J].SIAM Journal on Matrix Analysis Applications,2007,329(2):1218-1229.

[5] NI G,WANG Y J.On the best rank-1 approximation to higher-order symmetric tensors[J].Mathenatical and Co mputer Modeling,2007,46(9/10):1345-1352.

[6] QI L Q.Rank and eigenvalues of a supersymmetric tensor, a multivariate homogeneous polynomial and an algebraic surface defined by them[J].Journal of Symbolic Computation,2006,41(12):1309-1327.

[7] QI L Q,WANG F,WANG Y.Z-eigenvalue methods for a global polynomial optimization problem[J].Mathematical Programming,2008,118(2):301-316.

[8] KOFIDIS E,REGALIA P.On the best rank-1 approximation of higher-order supersymmetric tensors[J].SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications,2002,23(3):863-884.

[9] REGALIA P,KOFIDIS E.The higer-order power methodrevisited:convergence proofs and effective initialization[D].Istanbul,Turkey:IEEE Signal Processing Society,2000:2709-2712.

[10] KOLDA T G,BADER B W.Tensor decompositions and applications[J].SIAM Review,2009,51(3):455-500.

[11] ACAR E,BINGOL C A.Multiway analysis of epilepsy tensors[J].Bioinformatrics,2007,23(13):10-18.