功能梯度材料热传导的统计多尺度边界元分析

0 引 言

功能梯度材料[1]是一种在材料的制备过程中通过连续地控制各组分含量的分布使材料宏观特性在空间位置上呈现梯度变化的非均质多相复合材料。由于功能梯度材料的结构和性能呈连续变化，不存在明显的界面，其热力学性能和物理性能也呈梯度变化趋势，满足了结构元件不同部位对材料使用性能的不同要求，进而达到优化结构整体使用性能的目的。面对不断增长的工程应用需求，如何有效表征功能梯度材料的细观结构并建立细观结构与宏观热传导性能之间的定量关系，已成为材料科学与工程领域的重要课题。

采用单隐含层的BP神经网络结构，其中输入层和输出层均采用2个神经节点，隐含层采用20个神经节点。隐含层与输入层之间的传递函数为Sigmoid函数，输出层与隐含层之间的传递函数为Purelin函数。神经网络采用的训练函数为trainlm函数，最大训练历元为5 000，训练精度要求为1.0 e-8。误差曲线见图1，计算精度统计见表1。

研究功能梯度材料宏观等效性能的细观力学解析方法众多，包括Eshelby等效夹杂理论[2]、自洽模型[3]、广义自洽模型[4]、Mori-Tanaka模型[5]、微分法[6]、变分法[7]和n点界[8]等，上述模型均对材料微结构进行了大量简化以减少计算规模，故不能充分反映材料的真实微观结构特征。M.Jabbari等[9]采用直接方法分析了一维和二维稳态功能梯度空心圆筒热传导和热弹性问题；A.Alibeigloo[10]采用傅里叶级数法推导了物性参数沿厚度方向呈指数函数变化的温度场解析解；陶光勇等[11]采用解析法研究了功能梯度材料板在稳态梯度温度场下的热应力分布状况；Shao Z S等[12]利用级数求解法给出了功能梯度圆筒稳态温度场的解析解。采用解析法研究功能梯度材料热传导问题已取得了一些研究成果，但是由于功能梯度材料的非均匀性，利用解析法研究其热传导问题具有很大的局限性。Cao Leilei等[13]采用基本解有限梯度元方法求解了功能梯度材料的稳态热传导问题；王鲁等[14]采用有限元法研究了功能梯度热障涂层在循环状态下的瞬态温度分布。由于功能梯度材料性能的不均匀性，直接使用有限元等传统数值方法时需要非常精细的网格去捕捉功能梯度材料的局部特征，这将导致计算规模的大幅增加、求解困难。因此，建立一种针对功能梯度材料的高效可行的数值算法是十分必要的。

近年来，基于均匀化方法[15]的多尺度分析方法被成功应用于预测不同复合材料结构的物理和力学性能[16-19]。Li Youyun等[16]通过引入随机样本单胞模型，提出了基于有限元方法的统计多尺度分析方法，用于预测颗粒或孔洞随机分布复合材料的热传导性能。考虑到功能梯度材料微结构的随机性，多尺度计算结果呈现很大的发散性，必须进行大量样本的计算，最后给出统计意义上的结果，才能真实地反映随机复合材料的宏观整体导热性能。此外，功能梯度材料中颗粒数量巨大，尺寸较小，且体积分数随着位置变化而变化，结构十分复杂，有限元体网格剖分难度大；同时，为了更好地逼近材料微观结构，需要数量巨大的有限元网格，导致计算规模庞大。与有限元方法不同，边界元方法只需要在功能梯度材料各相材料的界面上进行网格剖分[20]，网格数目少，划分难度小，边界元方法在求解功能梯度材料导热问题上具有显著优势。

2）培训内容：医院历史沿革及文化建设、党团工作介绍、医院感染控制及医务人员职业防护、工资福利和考核、心肺复苏、消防安全、医疗核心制度和医患沟通、住院医师规范化培训及考核和护理专项培训。培训时间共计为5个工作日。

本文针对功能梯度材料的稳态热传导问题，描述功能梯度材料微结构的表征方法，建立宏观等效材料参数的多尺度边界元计算模型并给出统计意义下的多尺度算法，并研究颗粒随机分布功能梯度材料的热传导性能。

王国维：“其（罗）说是也，始以地名为国号，继以为有天下之号，其后确不常厥居，而王都所在，仍称天邑商，讫于失天下而不改。……且《周书·多士》云：‘肆予敢求尔于天邑商。’是帝辛、武庚之居，犹称商也。”

1 统计多尺度分析模型

假设功能梯度材料结构Ω是由颗粒和基体组成的颗粒随机分布复合材料，将颗粒的形状统一考虑为椭球或者嵌入椭球的多面体，在三维空间中，一个椭球可以由其中心点坐标、长中短轴的长度以及方向角等九个参数唯一确定[21]。对于Ω内的任意一点x′，存在一个相对于宏观结构Ω足够小，相对于椭球足够大的常数ε，使得存在一个ε尺寸的单胞ε(为单位化的单胞；s=1,2,…为单胞的样本编号)，该单胞上的颗粒随机分布服从依赖于x′的概率分布模型P(x′)，并且在单胞ε内椭球的体积分布为V(x′)，P(x′)和V(x′)在Ω内关于x是连续可微的。设随机向量ζ由椭球的九个参数组成，可以定义单胞ε内的随机分布样本=(,,…,,)。令ω={,x′∈ε⊂Ω} ，它描述了整个功能梯度材料结构Ω内椭球的分布状态[20]，如图1所示。

  

图1 功能梯度材料的细观结构

 

Fig.1 Microstructure of functionally graded materials

导热系数是具有剧烈振荡特性的随机函数，用(x,ωx′)表示。对于一个确定的样本，材料参数可定义为

 

(1)

(2) 对于每个点xi，根据颗粒的体积分数生成该点处的样本单胞Yxi()(∈P)[21]。

根据上述细观结构表征，考虑随机分布复合材料结构的稳态热传导方程为

 

(2)

式中：和h(x)分别为温度场、边界温度、边界热流密度和内部热源。

基于此，提出了基于生成对抗文本的人脸图像翻译方法，相比其他翻译方法，本文的翻译结果更好，在人脸图像上具有很好的适应性。

绿色大豆的早期田间管理对绿色大豆的整体生长质量、产量和生产质量有着非常重要的影响。在田间管理过程中，要保证绿色大豆田苗木整齐、健康，并定期疏松土壤。只有这样，才能为绿色大豆的生产提供重要保证，保证绿色大豆的质量和总产量。

Tε(x,ωs)= T0(x,y,ωx′)+εT1(x,y,ωx′)+

令y=x/ε，y为单胞Yx′=[0,1]3的局部坐标，则有(x,ω)=kij(y,ωx′)。假设在单胞Yx′内，温度场具有如下的多尺度渐近展开形式[21]：

然后采用径向积分方法将区域积分转换为边界积分，即

当时家中没有其他人，我在鞋柜旁脱鞋套的时候，袁缺就站在我身边，在帮我提着单肩背包。他突然问我：“廖哥哥是要去北京上大学？”

(3)

由于y=x/ε，则存在链式法则：

 

(4)

将式(3)～式(4)带入式(2)，并整理成ε幂级数的形式，可得：

 

 

 

(5)

通过比较式(5)两端ε不同幂次的系数，根据偏微分方程理论可分别定义T0和T1，则温度场的多尺度渐进展开式可定义为

 

(6)

式中：T0(x)为定义在宏观区域Ω上的均匀化解；Nα1(y,)为定义在单胞Yx′上的局部单胞函数。

电力设备检测是我国电力系统最早实现信息化的环节之一，图像识别技术由于其具有高度智能化的优势，在电力设备检测中可以发挥重要的作用，进一步提高电力设备检测的自动化和智能化水平。利用图像识别技术来进行电力设备检测不仅是必要的，而且也是可行的[3]。

对于任意样本，Nα1(y,)满足控制方程：

K330的节奏变化丰富，所以我们在演奏这首乐曲时，最根本的是先做到了解这个时期的作品风格，然后将其潜入到乐曲中，带入自己的想象力，溶入莫扎特在创作这首曲子时的内心情感，这样才能演奏出一首精彩的奏鸣曲。而后还需要认真分析乐曲的演奏技巧，用针对性的训练来掌握相关的演奏技巧。因此，为了做到对琴键能够游刃有余的控制，我们要把手指变得更加灵敏，做到敏锐的感知琴键，使音色更加的清透明亮。否则，将会无法完美正确的展现出莫扎特作品的音乐魅力。

 

(7)

进一步定义与样本有关的均匀化热传导系数

 

(8)

由文献[16]中的定理1可知，的数学期望存在。根据柯尔莫哥洛夫强大数定理，均匀化系数在x′点的期望值可以由式(9)计算。

式中：φi(y)为径向基函数；Φ为径向基函数插值矩阵。

 

(9)

利用上述期望的均匀化系数，可以定义功能梯度材料结构的均匀化热传导方程：

 

(10)

2 统计多尺度边界元算法

由于功能梯度材料中颗粒数量大、满足随机性分布且体积分数随着位置而变化，其微观单胞结构十分复杂，为了有效求解定义在单胞Yx′上的单胞函数，采用有限元方法时需要大量的体网格来逼近单胞结构，计算规模巨大。此外，由于颗粒分布的随机性，必须进行大量样本的计算，最后计算出统计意义上的结果，才能真实地反映随机复合材料的宏观整体性能。因此，采用有限元算法求解期望均匀化系数时计算规模巨大。而边界元方法在求解该问题时只需要在各组分材料的边界上进行网格离散，使得整体网格数量大幅减少，有效地降低了计算规模。假设功能梯度材料中基体和颗粒的热传导性能满足各向同性，则基于边界元方法的统计多尺度算法如下：

式中：r(p,y)为p点和y之间的距离。

综上所述,Epley手法复位和Barbecue翻滚手法复位在治疗耳石症中均能取得较好效果,实际应用中应该根据患者病情选用合适的复位手法。

式中：ei为单胞ε内的第i个椭球颗粒；A1和A2分别为颗粒和基体的材料参数。

(3) 在Yxi()上使用边界元方法求解单胞问题(式(7))。首先推导单胞函数Nα1(y,)所满足的边界积分方程，取基本解为

 

(11)

以基本解G(y,ζ)为权函数，对单胞函数Nα1(y,)满足的式(7)进行加权余量[20]，利用分部积分定理和高斯定理，并将原点限制到单胞边界上即可得到单胞函数Nα1(y,)所满足的积分方程。

-c(y)kα1α1(y,)Nα1(y,)

 

 

(12)

式中：c(y)为与边界有关的常量(对于光滑边界取值1/2)；v为单位法向量。

The diplomatic vague language shows the art of diplomatic language.The official could combine flexibility and principle together to make a decent expression.

进一步对式(12)等号右端的第三项采用径向积分，可得：

 

 

(13)

(1) 根据给定的概率分布模型P(x)(x∈Ω)，在结构Ω上选择M个点xi(i=1,2,…,M)。

对式(12)等号右端的第四项，首先使用增强径向基函数[14]逼近Nα1(y,)，即

Nα1=φi(y)Φ

(14)

他在1961年提出了自己的想法，后来将它们汇编成一系列报告。还有另外一位英国科学家差不多在同一时间得出了类似的结论，他称之为“分组交换”技术。数年之后，美国国防部高级研究计划署将他们的想法付诸行动，建立了一个早期网络，并称之为阿帕网（ARPANET）。阿帕网后来逐渐演变成为我们今天的互联网，它是互联网的前身。它的基本架构仍然依赖于可为信息包找到最快路由的分布式网络思想。

ε2T2(x,y,ωx′)+…

 

 

(15)

由式(12)～式(13)和式(15)可以得到单胞函数Nα1(y,)所满足的边界积分方程。

-c(y)kα1α1(y,)Nα1(y,)

 

 

 

(16)

最后对单胞的边界进行网格剖分，并进行边界单元插值，计算式(16)中各积分项，得到线性代数方程组，求解可得单胞函数Nα1(y,)的数值解。进一步，通过式(8)计算出均匀化系数

Application of waterscape in small-scale space landscape design

(4) 对于不同的样本单胞Yxi()(s=1,2,…,r)，重复步骤(2)和步骤(3)，可分别得到r个均匀化系数期望均匀化系数可以通过式(9)计算。

(5) 对于不同的点xi(i=1,2,…,M)，重复步骤(2)～步骤(4)，得到结构Ω上M个点处的期望均匀化系数最后通过插值方法得到结构Ω上期望均匀化系数函数

3 算例分析

为了验证统计多尺度边界元方法预测功能梯度材料热传导性能的有效性，取圆球颗粒Al作为增强相颗粒的Al/Al2O3功能梯度材料，Al和Al2O3的热导率分别为211.07和38.27 W/mK，圆球颗粒在基体内均匀随机分布且体积分数随着位置从0～25%线性变化。由于颗粒分布的随机性，数值计算结果会受此影响，即使颗粒的分布模型完全相同，计算结果也会因样本的不同而有所差别。因此，一次样本的计算结果无法完全反映随机复合材料的宏观特性，必须进行大量样本的计算，再最终计算出统计意义上的结果，才能真实反映随机复合材料的宏观整体性能。算例中的计算结果均由随机抽样50次统计所得。

选取不同样本数量时的等效导热系数计算结果如图2所示，可以看出：随着样本数量的增加，计算结果分散性越来越小。

  

图2 样本数量对等效导热系数的影响

 

Fig.2 The effect of sample quantity on equivalent thermal conductivity coefficient

分别使用多尺度有限元和多尺度边界元方法计算等效导热系数的数值结果与实验结果的比较如图3所示，可以看出：在功能梯度材料内部有效热传导系数随着位置的变化呈上升趋势，两种多尺度方法均给出了稳定的预测曲线，与实验数据[22]符合较好。

  

图3 等效导热系数数值结果与实验数据比较

 

Fig.3 Comparison of the effective thermal conductivity between numerical results and experimental data

多尺度有限元网格与多尺度边界元网格数目的比较如图4所示，可以看出：边界元网格数目远少于有限元网格数目，采用多尺度边界元算法可以大幅节约计算成本，减少计算量。特别地，针对随机复合材料模拟需要大量取样的特性，多尺度边界元算法节约的计算量是相当可观的。

  

图4 有限元网格与边界元网格数比较

 

Fig.4 Number comparison of finite element mesh and boundary element mesh

从图3～图4可以看出：统计多尺度边界元方法可以用较少的计算时间得到满意的结果，是一种预测功能梯度材料热传导性能的高效率、高精度的数值方法。

4 结 论

(1) 使用统计多尺度边界元方法预测了颗粒随机分布功能梯度材料的等效导热系数，数值结果与实验结果的比较表明了多尺度边界元模型的正确性和算法的有效性。

(2) 针对具有大量颗粒随机分布且结构和性能在空间位置上呈现梯度变化的功能梯度材料的热传导问题，统计多尺度边界元算法可以用较少的计算时间得到满意的结果，是一种高效率、高精度的数值算法。

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