基于样条插值方法的非圆齿轮节曲线设计缺陷的修正

0 引言

由于非圆齿轮具有良好的差速和变速特性，因此被广泛应用于打印机、流量器、差速器、油泵和机床等机械产品的设计中。对于非圆齿轮加工过程，非圆齿轮齿廓的加工一般是用产形刀具沿着非圆齿轮节曲线滚动包络出来的，因此可以根据产形刀具节曲线与非圆齿轮节曲线的共轭关系来建立非圆齿轮的齿廓模型[1-4]。内啮合的非圆齿轮齿廓的建立也可用该方法[5]。此外，随着对高性能机械产品的需求日益增多，椭圆齿轮和偏心圆齿轮已远远不能满足当前工程需求，一些学者不断探索和扩充非圆齿轮的类型，巴斯噶蜗线、阿基米德螺线等已被应用于非圆齿轮的设计过程中[6-7]。

为了满足多种工况的要求，常采用多种曲线组合的方式来设计非圆齿轮的节曲线。然而这种设计会引起节曲线衔接点处存在间断点或尖点，从而对非圆齿轮的加工质量产生影响。针对这种设计缺陷，在精度允许的情况下可通过节曲线修形来解决。由于衔接点处的尖点可能为凸尖点或凹尖点，因此采用的修形方法不同，但很少有关于节曲线尖点修形方法的研究报道出现。如果在设计非圆齿轮节曲线过程中能够避免间断点的发生，并且在修正节曲线尖点时对非圆齿轮的传动比造成的影响较小，则能够有效地减少非圆齿轮加工过程中的工作量，提高非圆齿轮的加工效率。

针对非圆齿轮设计过程中节曲线存在的间断点和尖点问题，依据非圆齿轮的传动比函数及节曲线的封闭性条件，推导出了非圆齿轮节曲线的修正方程。依据该修正方程所设计的节曲线避免了在节曲线衔接点处发生间断点的现象。以节曲线尖点邻域内密切圆上的点为插值点，采用样条插值方法生成该邻域内的节曲线方程。通过高阶阿基米德螺线齿轮的设计实例验证了该修正方法的实用性和准确性。

1 节曲线间断点的修正模型

为了使非圆齿轮的节曲线能够完成周期性的变加速或变减速运动，常采用多段曲线来设计非圆齿轮的节曲线，由于在节曲线的衔接点处会出现不连续点，常需要对节曲线进行修形以保证非圆齿轮的传动性能。为了避免在节曲线衔接点处产生间断点，可将节曲线的封闭性条件作为约束条件来重塑节曲线的模型。

第三，优化教学内容，实行理论教学和实践教学并重。不断拓展校外实训基地的建设，并形成制度化，建立旅游专业校外实训企业档案制，加强学校与各实训企业的合作与联系，定期总结经验，吸取教训，形成长期稳定合作。可以邀请企业专家到校给学生教授实践课程和进行就业指导，形成学校教育和企业培训间的“无缝链接”，极大提高学生的创新思维，并为他们未来就业创业奠定良好的实践基础。

将式(14)代入到式(7)可求得修正因子δ的数学表达式为

 

(1)

  

图1 非圆齿轮的节曲线

式中，“+”表示内啮合，“-”表示外啮合。

将式(1)改写为速度的微分形式，即

式(18)代入式(16)可将修正因子表示为含有参数kl的函数，即

(2)

由非圆齿轮副内啮合和外啮合的性质可知两齿轮的中心距le或ln为定值，因此

R1(η1)±R2(η2)=li i=e，n

(3)

将式(3)代入式(2)并通过公式变换得到

 

(4)

依据非圆齿轮副节曲线的封闭条件可知，当主动轮转过角度为2π/N1时，从动轮也必须转过角度2π/N2，N1和N2分别为主从动齿轮的阶数。由非圆齿轮节曲线的对称性可知，当主动轮转过半个周期π/N1时，从动轮也必转过半个周期π/N2。式(4)两边积分可得到

 

(5)

以上等式左右两边通常不能恒成立，为了使等式左右两边能够恒成立，引入因子δ迫使等式两边恒等。即将式(5)表示为

观察组及对照组患者治疗总有效率分别为90.77%、73.85%，观察组明显高于对照组，差异有统计学意义（P＜0.05），见表1。

 

(6)

式中，δ既可作为内啮合非圆齿轮的修正因子也可作为外啮合非圆齿轮的修正因子，将式(6)变换后可求出δ为

 

(7)

整理式(6)后可得

 

(8)

由于和上的点关于轴AO1对称，可根据节曲线的对称性和周期性推导出该弧上的样本点。如果节曲线为凹尖点，也可采用上述方法取样本点来修正，不同的是所取插值点应是和该切点相切的外切圆上的点，同时该点密切圆的半径与该外切圆的半径相等。如图5所示，O2C1平行于X轴， C点为切线X轴与τ1的交点，为了计算方便，假设C点与节曲线的凹点重合(实际上并不不重合)。向量OO2=OB-O2B，O2点在坐标系Σ(XOY)中的坐标表达式为

 

(9)

假设法向量n1的单位向量是n1′，则向量O1B可表示为

由于主动轮被修正后，传动比也会发生变化，为了改变修正主动轮而引起的传动比变化，依据主从动轮的共轭特性可得到修正后从动轮的节曲线方程，即

1)建立模拟巷道精度验证绝对坐标系。首先使用手持式激光测距仪反复测量验证系统坐标系原点O，巷道中线在底面的投影作为验证系统绝对坐标系的X轴，其正方向为掘进机试验样机的掘进方向，Y轴方向由精密测角仪测量X轴顺时针偏转90°方向，Z轴为O点竖直向上方向。

 

(10)

 

(11)

式中，f12(η1)为传动比函数;“+”表示内啮合，“-”表示外啮合。

由曲线连续可导条件可知，当主动轮节曲线在周期为η1=2kπ/N1，k=1、…、N1时可能出现尖点。判断节曲线是否存在尖点的条件为

 

(12)

式中，k为节曲线的周期数。

2 节曲线修正模型的应用

当非圆齿轮的节曲线为分段曲线时，节曲线在区间[0， kπ/N1]的端点处会出现尖点，以阿基米德螺线作为节曲线，则节曲线的极径可表示为

ra(θ)=h(1+kaθ)

(13)

式中，ka为变参数，用于调节阿基米德螺线的形状；h为常数，由设计给定。

近些年，高中单亲家庭子女的数量有大幅增长趋势。单亲家庭子女在学习、品德方面不乏有出类拔萃者，但大多数表现较落后，成为班级工作的难点。如何做好单亲家庭子女的心理教育工作，已经成为学校、家庭乃至社会普遍关心的问题。

依据式(12)可知，依据式(7)可将式(13)改写为

系统程序中主要是由三个判断构成，图7所示流程图对于前后两车都适用。如果两车进入超车段，需要后车超越前车，则前车在超车标志判断后沿着内线减速行驶，后车沿着外线原速行驶，达到超车目的。最后一个判断是前车判断已经被后车超车，恢复原来的速度，以保证在非超车道，两车一前一后相对距离不变行驶。程序设计利用外车道超车，以免两车发生碰撞。程序采用模块化设计法，把相对独立的程序段写成一个模块进行调用。这样易于编写和调试，能够把复杂任务分割成小任务，为设计提供方便。在Keil C软件中编译调试通过后固化到单片机，安装到电路板上。部分程序列举如下：

 

(14)

式中，ld为主从动轮的中心距。

四是落实好维修、管护的经费。用水合作组织或者集体组织负责统一收取水费，统一工程维护。从2011年开始，中央财政和地方财政都增列了一个渠道，用于西部地区、民族地区、边远贫困地区小型农田水利设施的运行维护经费补助。目前农民用水合作组织的发展比较快，现在全国农民用水协会和农民用水合作组织已经有7.8万个，在管好、用好小型农田水利工程中发挥了重要的作用。

为使所设计节曲线能够满足光滑连续条件，将式(14)变换成式(9)的形式。即

 

(15)

式中，ra1(θ)为ra(θ)的修正值且θ的取值位于区间[0， π/N1]，可通过节曲线的对称性求出其他区间的节曲线。

图1(a)与图1(b)分别为2阶与3阶椭圆齿轮以及2阶与2阶椭圆齿轮的节曲线啮合原理图。图1(b)中两个齿轮的中心距为le， R(η1)与R(η2)分别为主从动轮的极径，在每一瞬时，主从动轮之间的传动比函数为

 

(16)

如果令rmaxa1(0)为节曲线半径的最大值，rmina1(π/N1)为节曲线半径的最小值，比值kl=rmina1(0)/rmaxa1(π/N1)，将其代入式(15)可得

 

(17)

由式(17)可求出参数ka的值为

 

(18)

R1(η1)dη1=±R2(η2)dη2

 

(19)

 

(20)

U=Qh(1-kl)-2h-kl+1

因此，在缺乏领军型企业的产业环境中，中小跨境电商出口企业要做大做强需要解决以下三个问题：一是如何加快人才引进与培养，优化人力资源配置，提高中小跨境电商企业实力，促进企业规模扩张；二是如何大力引进和培育包括跨境电商平台型企业、运营型企业和服务型企业在内的领军型跨境电商企业，激活大企业人力资本在吸引力、社交辐射力、保留能力上的禀赋优势，破解人才紧缺和结构不合理的难题，促进中小企业开拓海外市场；三是如何构建领军型跨境电商企业与中小企业健康发展的互动机制，发挥其在协作引领、营销网络、产品辐射、资源渠道和知识输出等方面的示范作用，为中小企业健康良好发展提供有力支撑。

(21)

T=2h2(1-kl)-h(1-kl)

(22)

将式(18)、 式(19)代入式(15)可求出修正后的节曲线极径方程，该方程只含有参数N1、N2、kl和h，当主从动轮的阶数N1、N2和比值kl确定后，由多段阿基米德螺线组成的非圆齿轮节曲线可唯一确定。

通过式(15)只能求出半个周期的节曲线，可通过对称性求出其余各个周期的节曲线方程。图2显示了采用该方法所设计的内啮合节曲线仿真图，图3为采用以上方法所设计的外啮合节曲线仿真图。从图中可看出节曲线不存在不连续的点，但有尖点出现。可采用下节所论述的数值插值方法修正节曲线的尖点。

企业投标报价，首先应根据招标文件、现场调查、施工组织设计、企业定额等估价依据，确定企业成本价，再加上预期利润，得到企业的合理报价，而不是盲目追求低价，甚至低于企业成本。调研发现，企业经营部门编制投标书时，出现了现场调查不细，结合现场实际不够，单价分析不合理，风险因素考虑不够等问题，直接导致中标价低于企业成本，项目部成本压力很大。如包西线某项目，标前调查时认为只有2～3公里的便道，实际施工时临时便道修了20多公里，仅此一项亏损就达300多万元。再如某铁路项目2号隧道临时便道需要通过一个既有线下的小通道桥，投标时忽略了这一因素引起的材料二次倒运费，造成中标单价偏低，实际施工时损失20多万元。

  

图2 2阶与3阶阿基米德螺线齿轮节曲线

  

图3 3阶与5阶阿基米德螺线齿轮节曲线

3 节曲线尖点的样条插值修正模型

  

图4 节曲线凸尖点与其密切圆之间的几何关系

由图2与图3所示，可得齿轮节曲线的尖点有凸尖点和凹尖点之分，假使把节曲线密切圆上的点看成样本点，这样就可以用样条插值法对尖点邻域内的点进行插值，从而生成节曲线的轮廓。图4为节曲线凸尖点与其密切圆的几何关系， B点为切线τ1与节曲线的切点，上的点为所取节曲线密切圆上的样本点，B点的位置越靠近A点，误差越小。坐标系Σ(XOY)为分段节曲线的坐标系。过O1点做平行于X轴的直线O1C1，μ为极径OB与切线τ1的夹角，μa、μb分别是点A与点B对应的极角，n1为切线τ1在点B处的法向量。由图4的几何关系可得

 

(23)

∠BCO=μ-μb

(24)

式中，ri(θ)为节曲线的极径，如式(15)中的ra1(θ)。

因∠BC1O1=∠BCO，则∠BO1C1=π/2-μ+μb。由向量OO1=OB-O1B可得O1点在坐标系Σ(XOY)中的坐标为

 

(25)

其中，|OO1|是OO1的模；∠O1OC1=arctan(yo1/xo1)。

黍子对土壤和茬口要求不严，除严重盐碱地及低洼易涝地以外均可种植。在粘性土壤种黍子，由于土壤结构紧密，扎根困难，加之黍粒小，内含营养物质少，造成缺苗或死苗现象，但这种土壤保水保肥力强，对黍子后期生长有利。沙性土壤结构疏松，土温上升快，利于黍苗顶土，较适宜黍子生长，但后期易脱肥旱哀，要加强肥料供应。

向量OB在坐标系Σ (XOY)中的坐标为

笔者认为，如果由航海保障部门担负起国内MS服务区域协调人的角色，将会更为有效的解决以上存在的技术及组织协调的问题。

 

(26)

式中，xB、yB的求解方法与式(26)相同，O2B 的求解方法与式(29)相同。根据图5所示可得∠BO2C1=π/2-∠BC1O2且∠BC1O2=π-∠BCO，综上所述，可得∠BO2C1的表达式为

 

(27)

如图4所示，将切向量绕点B顺时针旋转π/2得到法向量n1为

 

(28)

式中，为R1(η1)的修正值。

O1B=ρBn1′

(29)

式中，ρB为B点的曲率半径。

将式(26)和式(29)代入式(25)，能够求得O1点的坐标为关于μb的函数。点A在坐标系Σ(XOY)中可表示为

 

(30)

根据式(30)，可得∠AO1C1的表达式

 

(31)

联立式(23)～式(31)，可求得上点在坐标系S(XOY)的表达式为

 

(32)

式中，∠BO1k=∠AO1C1-∠BO1C1。

由式(5)和式(8)可知，如果非圆齿轮副节曲线存在间断点，可通过修正系数δ使节曲线满足封闭性条件，即令

 

(33)

切向量τ1在坐标系Σ(XOY)中的坐标为

 

(34)

式中，∠BCO的解法与式(24)相同。

同理，切点B的密切半径与其外切圆O2的半径是相等的，则上点在坐标系Σ(XOY)的表达式为

 

(35)

式中，“+”表示θ≤π时yρB的坐标；“-”表示θ≥π时yρB的坐标。由式(34)可求得∠BO2C1，又∠CO2C1=∠O2Ch，则∠O2Ch表达式为

 

(36)

式中，yc与节曲线极径最小值相等。

  

图5 节曲线凹尖点与其外切圆之间的几何关系

为确保修正后的节曲线在切点处不会产生新尖点，可采用3次样条插值方法把采样点连接为平滑的曲线。依据文献[8]中所述的样条插值方法，取插值点即密切圆上的点为xi，同时 xi点取区间[xB，xB1]之间的点，根据2阶导数构造样条插值函数为

 

(37)

式中，t(x)为3次样条插值函数；mi为要求的插值函数的二阶导数值。这里采用不等距插值法，则求得待定系数mi的方程组为

阔叶杂草 播娘蒿、荠菜：吡氟酰草胺、二甲四氯、唑草酮、灭草松、双氟磺草胺、苯磺隆、异丙隆、吡草醚；猪殃殃：唑草酮、双氟·唑嘧胺、吡氟酰草胺、吡草醚、双氟+氯氟吡氧乙酸；麦家公：灭草松、双氟磺草胺、苯磺隆、二甲四氯；婆婆纳：唑草酮、吡氟酰草胺+双氟；泽漆：氯氟吡氧乙酸、氯吡+苯磺隆+唑草酮；牛繁缕：二甲四氯、氯氟吡氧乙酸+苯磺隆、吡氟酰草胺、甲基二磺隆、双氟+氟氯酯；佛座：氯氟吡氧乙酸、唑草酮、二甲四氯、氟噻草胺；小蓟：灭草松、二甲四氯；小藜：唑草酮、二甲四氯；麦瓶草：苯磺隆、双氟磺草胺、二甲四氯；紫堇：唑草酮、氯氟吡氧乙酸。

在大数据背景下，数据库管理将面临着海量的数据，学生必须要学会对这些数据进行分析和处理。因此，高校应当将海量数据分析作为选修课程，每周安排3个课时。NoSQL数据管理技术是对关系型数据管理技术的补充，其中主要包括针对异构海量数据的存储、查询及分析等技术，是电子商务、社交网络和web搜索等新型应用的技术支持，同时这也是大数据背景下数据分析的主要技术。高校可以将NoSQL数据管理技术的应用作为大数据时代数据库技术的“提高篇”。该项课程应当采取课程和实验相结合的方式进行教学，在学期末采用实习报告的方式对学生进行考核。

 

(38)

根据式(32)知，如果确定了切点B，则密切圆的圆心坐标xo1和yo1 即为定值，那么样条函数的边界条件便可以求得，即

中，教师要根据学生的元认知情况，精心设计问题，让学生通过“微型探究”活动，深化知识内涵，揭示数学本质，感悟解题方法.在具体问题解决后应注重引导学生总结提炼一般方法，使学生对问题的理解与思考达到新的高度.

 

(39)

式中，θ0与θn分别为式(32)中的∠BO1C1和角∠BO1k，xB与yB与式(32)中的值一致。

4 数值实例

根据式(13)～式(22)的设计方法，可得到图6所示为3阶与4阶阿基米德螺线齿轮节曲线，其中，设计参数N1=3，N2=4，kl=0.70，h=10。依据式(19)可求出修正因子δ=-1.65。两齿轮中心距le=20 mm，由图6可得采用修正模型设计出的节曲线虽然没有中断点，却有尖点存在，于是用样条插值方法来修正节曲线，修正后的图形如图7所示。由图可知该曲线在第一个周期的插值区间是[-π/18， π/18]，那么切点对应的极角为π/18。

  

图6 3阶与4阶阿基米德螺线齿轮节曲线

  

图7 图6中节曲线修正后的图像

  

图8 2阶与4阶阿基米德螺线齿轮节曲线

2阶与4阶阿基米德螺线齿轮的节曲线如图8所示，设计参数N1=2，N2=4，2阶齿轮的kl=0.56，h=4.3，两齿轮中心距le=5.7 mm。依据式(19)求出的修正因子δ=-4.79。图中显示节曲线无断点，但仍然有尖点，修正尖点后如图9所示，节曲线在第一个周期的插值区间为[-π/30， π/30]，因此切点对应节曲线的极角为π/30。

  

图9 图8中的节曲线修正后的图像

5 结论

通过引入修正因子，使传动比函数满足非圆齿轮副节曲线的封闭性条件，在此基础上推导出了非圆齿轮节曲线间断点的修正方程。通过对高阶阿基米德螺线齿轮副的设计，验证了该方法能有效避免节曲线间断点的产生。以尖点邻域内点的密切圆为插值点，分别建立了节曲线凹尖点和凸尖点的样条插值修正模型，为其他类型节曲线的凹尖点和凸尖点修正提供了理论基础。数值实例的仿真结果验证了文中修正模型的实用性和准确性。

参考文献

[1] 武传宇， 金玉珍， 贺磊盈. 基于包络特征的非圆齿轮齿廓计算方法研究[J]. 中国机械工程， 2008， 19(15):1796-1799.

[2] 谭伟明， 梁燕飞. 渐开线非圆齿轮的齿廓曲线数学模型[J]. 机械工程学报， 2002， 38(5):75-79.

[3] 侯东海， 刘忠明. 用工具斜齿条法加工斜齿非圆齿轮的啮合理论模型[J].机械工程学报， 2003， 39(8):49-54.

[4] BAIR B W. Tooth profile generation and analysis of crowned elliptical gears[J]. Journal of Mechanical Design， 2009， 131(7):074503-074503-6.

[5] ZAREBSKI I. SA T. Designing of non-circular gears[J]. Archive of Mechanical Engineering， 2008， 10(3):275-292.

[6] 王亚洲， 胡赤兵， 刘永平， 等. Pascal蜗线型齿轮滚切插补算法对比[J].上海交通大学学报， 2014， 48(1):45-49.

[7] LITVIN F L， GONZALEZ-PEREZ I， FUENTES A， et， al. Design and investigation of gear drives with non-circular gears applied for speed variation and generation of functions[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 2008， 197(45/46/47/48):3783-3802.

[8] 钟尔杰. 数值分析[M]. 北京：高等教育出版社， 2004:125-133.