基于曲率模态曲线变化的桥梁损伤识别

0　引　言

桥梁在投入运营期间，由于长期受荷载(静载、动载)与自然灾害的作用(地震、台风和火灾等)会持续产生各类损伤，不同损伤累积至一定程度便会危害结构的安全状态与正常运营[1-3]，这也部分印证了桥梁健康状态的劣化过程。因此，基于桥梁损伤位置的检测与损伤程度的识别研究便成为了其健康监测中的重要环节[4-6]。

随着桥梁抗风、抗震方面的研究与有限元技术、测控领域的发展，桥梁的损伤识别技术也得到很大程度的发展。近年来，由于诸多桥梁事故的发生，桥梁的健康监测越来越受到重视。许多大中型桥梁上均布置了健康监测系统[7-9]，诸多学者也将桥梁的损伤识别技术作为其研究方向[10-11]，使得这一学科得到了飞速发展。现有的桥梁损伤识别方法往往仅能对其损伤位置进行确定，但对于损伤程度识别效果较差。

本文提出一种基于曲率模态曲线变化的损伤识别方法，利用桥梁损伤时其曲率模态曲线会产生畸变这一特点，以曲率模态参数指标为基础，对桥梁损伤前后其曲率模态曲线的变化进行研究。采用多项式拟合、BP神经网络拟合技术，根据桥梁受损后其曲率模态曲线畸变的大小来反向拟合出现的损伤位置和损伤程度。以一座简支桥为例，对其设定单损伤、多损伤工况进行研究分析，根据桥梁损伤后曲率模态曲线畸变产生的部位确定结构损伤位置，并以其曲率模态曲线的畸变大小来拟合桥梁损伤程度。由算例结果可知，对于实际工程中经常出现的小损伤工况，这一方法的识别效果较好，可为实际桥梁的状态监测提供参考。

第三乐章，小步舞曲，雅致的中板（Menueto Moderato e grazioso）。在这个奏鸣曲中，它代替了慢乐章的地位，安详如歌，高贵精致。它都是在降E大调上，即使是三声中部也是同一个调。开头乐段的乐句，每八小节一句，共两句。

1　受损结构的曲率模态曲线分析

1.1　曲率模态曲线理论

在结构的健康监测中，采用挠度仪、位移传感器等测试设备可测得结构各测点实时的位移、振动情况，通过综合考虑桥梁各测点某一时刻的位移φ(r)(r为梁体的测点)，可得到结构整体的位移模态Φ[12]，即

Φ=[φ(1) φ(2) φ(3) … φ(r) … φ(n-1) φ(n)]

(1)

式中：n为布置传感器的测点数量。

通过对各测点的位移φ(r)进行中心差分求值，得到对应的曲率模态ρ(r)，即

 

(2)

式中：dr,r+1为测点r到测点r+1的距离；dr-1,r为r-1测点到r测点的距离。

综合考虑各测点的曲率模态ρ(r)，梁整体的曲率模态振型P为

P=[ρ(1) ρ(2) ρ(3) … ρ(r) … ρ(n-1) ρ(n)]

(3)

对于图2所示梁体，假设其单元数量为r，当梁体的m位置出现a程度的损伤时，a∈[0,1)。损伤处的曲率ρ(m)′=f(a)ρ(m)，其中f(a)为其损伤函数。对梁体而言，损伤部位会出现一定程度的畸变，同时整个梁体的曲率模态趋势曲线会产生一定弧度的缩小变化[13]。图2中损伤部位左侧、损伤部位及其右侧的变化面积分别为和受损梁体的曲率模态趋势曲线与基线的左侧、损伤部位及其右侧围成的面积分别为和为损伤曲线与完整梁体曲线的畸变面积差。

  

图1　梁体损伤时曲率模态曲线的变化Fig.1　Changes of Curvature-mode Curves in Beam Damage

1.2　曲率模态曲线的趋势变化

对于梁式结构，当出现局部损伤时，其曲率模态振型曲线会呈现相应变化，如图1所示。

从比较表中可以看出，不同的传输技术，具有其相应的优缺点，在选用时要扬长避短，既要考虑适用性，又要考虑建造成本，还要考虑建设周期和后续维护的便捷性。

  

图2　整体曲率模态曲线的畸变面积Fig.2　Distortion Area of Holistic Curvature-mode Curve

将m处的损伤均摊到其他未损伤部位，增加的曲率总量为ρ(m)′。假设梁体为均匀等截面，则未损伤单元附加的平均曲率为为m损伤位置的影响系数，受损梁体的曲率模态趋势曲线与完整梁体的曲率模态趋势曲线之差为

未损伤曲率模态曲线的面积SW 为

 

(4)

损伤梁体的曲率模态曲线面积SS为

 

(5)

梁体损伤前后曲率模态曲线的面积差T(a)可表征损伤面积的变化情况，即

 

(6)

式中：为梁体损伤程度a下的曲率模态曲线与基线围成的面积为梁体损伤前的曲率模态曲线与基线围成的面积。

引入损伤梁体的曲率变化情况，化简可得曲率模态振型P(a)为

 

(7)

通过式(6)，(7)可得到梁体相应工况下的损伤程度。

2　实例分析

选取一典型简支桥进行分析，其跨度为30 m，共等分为30个单元和31个节点。梁体左端N1节点和右端N31节点均为两端支撑。为研究受损结构曲率模态曲线的特征，设定下列损伤工况：16单元分别损伤5%，15%，40%，60%；11单元和21单元分别损伤10%，20%，45%和70%。

以D1为标准，大学生内隐自杀意念发生率为38.8%(104/268)；以D2为标准，大学生内隐自杀意念发生率为32.8%(88/268).4种GNAT任务下被试的反应时指标(D值)和敏感性指标(d’)的M±SD见表4和表5.

图3为简支桥在不同损伤程度下的一阶曲率模态曲线变化情况。表1为单损伤工况下简支桥的曲率模态曲线与横轴围成的面积，其中Si为i单元的曲率模态曲线与基线围成的面积，Si～j为i单元到j单元的曲率模态曲线与基线围成的面积，TS为所有单元的曲率模态面积和。表2为多损伤工况下模态曲线与横轴围成的面积。

项目资金是进行高速公路建设的基础，也是高速公路建设管理工作的重中之重。对此必须积极创新资金管理制度，以加强对项目资金的管理能力。

  

图3　简支桥的一阶曲率模态曲线Fig.3　First Order Curvature-mode Curves of Simply-supported Bridge

由表1，2可知，随着损伤程度的增加，受损单元的畸变面积随之增大，其他未损伤部位的面积呈现减小趋势。由T(a)的变化可知，随着损伤的加剧，总面积也呈现减小的趋势。

 

表1　简支桥在单损伤工况下的曲率模态曲线面积Tab.1　Curvature-mode Curve Areas of Simply-supported Bridge Under Single Damage Condition

  

损伤工况S1～16/m2S16/m2S16～31/m2TS/m2T(a)变化率/%未损伤9.551.008.5519.09016单元损伤5%9.521.028.5319.08-116单元损伤15%9.481.078.4919.04-516单元损伤40%9.301.288.3418.92-1816单元损伤60%9.011.598.1118.72-38

 

注：面积计算中将未损伤梁体的最大曲率值取定为1m，梁体的长度为实际长度。

 

表2　简支桥在多损伤工况下的曲率模态曲线面积Tab.2　Curvature-mode Curve Areas of Simply-supported Bridge Under Multiple Damage Conditions

  

损伤工况S1～11/m2S11/m2S11～21/m2S21/m2S21～31/m2TS/m2T(a)变化率/%完整梁体的曲率模态曲线4.770.898.650.843.9319.09011单元和21单元损伤10%4.740.938.610.873.9219.07-211单元和21单元损伤20%4.710.988.550.923.8919.05-411单元和21单元损伤45%4.581.168.331.093.8018.96-1311单元和21单元损伤70%4.291.577.851.473.5918.76-33

 

注：面积计算中将未损伤梁体的最大曲率值取定为1m，梁体的长度为实际长度。

3　损伤程度与面积变化的规律

通过上述实例分析可知，不同程度的损伤对应不同大小的畸变面积。根据损伤程度与面积这2类参数的变化规律，研究面积随损伤程度的变化，数据拟合是最好的方法之一[14]。目前常用的数据拟合方法主要包括线性拟合[15]、二次函数拟合[16]、多项式拟合[17]和神经网络[18-19]拟合方法等。本文仅对多项式拟合与神经网络拟合方法进行初步探讨。

3.1　多项式拟合方法

3.1.1　拟合过程

假设分析的多项式为如下形式[20]

 

(8)

式中：yi为通过完整自变量计算得到的因变量；a0～ak为常数项；x为自变量；k为常数项项数；i为自变量项数。

2018年3月初，顺丰收购新邦71%股份，成立新公司“顺心”。新邦原有资产和业务将转移到新公司，而顺丰则通过此次收购的方式，快速布局零担市场。

对于测点i有

 

(9)

利用复相关系数的大小可以在一定程度上衡量拟合效果[22-23]，r′值越接近1，其拟合效果越好。r′的相关范围如表3所示。

利用BP神经网络进行数据拟合分为2个步骤：

 

(10)

误差平方和的展开多项式为

 

 

(11)

a=6.509T3(a)+9.575T2(a)+

根据最小二乘法理论，若希望求得误差最小平方和Dmin，则展开整理，写成矩阵形式为

 

 

(12)

通过输入k+1组对应变量数据，可求得各自变量的待定系数a0，a1，a2，…，ak。在实际操作中，往往对应的变量数据输入组数m′=k+1，因此拟合多项式的阶次一般不宜取得过高。在m′7以后，矩阵出现病态，曲线震荡更加剧烈，因此本文研究中多项式的阶次取值不超过7。

解析：由“子一代中红花植株和白花植株的比例为5∶1”可知，亲本红花植株中既有纯合子，又有杂合子（因为若亲本红花植株全为纯合子，则子一代全为红花植株；若亲本红花植株全为杂合子，则子一代中红花植株和白花植株的比例为1∶1）。因此，该题的关键就是要确定亲本红花植株中纯合子与杂合子各自占的比例。

3.1.2　拟合效果

对于式(8)中的多项式来说，自变量x的阶次为k，而精确计算这一阶次的多项式需要自变量x的个数为k+1，这样得到的拟合曲线可通过所有的数据位置。在实际的数据拟合分析中，往往通过仪器采集和计算分析只能得到自变量x的个数远远小于k+1。因此，采用这一方法进行拟合，存在数据误差d。

引入复相关系数r′的概念[21]，它反映了一个因变量与一组自变量之间线性的相关程度，该指标的大小可等效表示线性关系的拟合效果，其计算公式为

 

(13)

式中：di为测点i的误差值为不完整的自变量计算得到的因变量。

 

表3　复相关系数r′的相关范围Tab.3　Correlation Range of Complex Correlation Coefficient r′

  

相关性完全不相关微弱相关低度相关显著相关高度相关完全相关r'0(0,0.3)[0.3,0.5)[0.5,0.8)[0.8,1)1

对于曲线拟合问题，这类非线性相关程度的求解可线性化是一种较好的方式[18]。通过变量代换将其转化成直线方程的形式，并根据直线方程求解未知量系数的方法求解系数，最后将直线方程还原成曲线方程。此类多项式为y=a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+akxk，可令其高阶未知量转化为一阶未知量为x1=x，x2=x2，…，xk=xk。将多项式改写成y=a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+akxk的直线方程形式，进而通过求解复相关系数r′确定非线性曲线的拟合效果。

3.2　神经网络拟合方法

因变量误差的平方和D为

(1)多组数据的训练、学习。首先选取具有代表性的多组数据自变量作为输入层样本进行输入，然后将数据的因变量作为期望输出进行设定。通过多组对应数据的学习训练，得到相应的隐含层神经元连接权系数，通过网络输出数据与期望输出数据的比较，进行隐含层相应参数的修改，使得实际输出和期望输出的误差达到最低，得到最优的BP神经网络模型。

(2)拟合应用。利用步骤(1)得到的BP神经网络模型，将待处理数据的自变量进行录入，通过神经网络的训练学习，得到较理想的输出因变量，即为BP神经网络进行数据拟合的过程。

3.3　损伤识别流程

根据上述2种拟合方法得到结构的损伤识别方法流程，如图4所示。

传文中，齐襄公灭纪国却安葬纪伯姬，孔子称赏他，许之以“侯”。《公羊传》于此指出了复仇的又一条原则，即须光明正大，把握分寸。

如今，随着中国物流行业的发展和自动化设备需求的增加，越来越多的企业积极参与到工业4.0的浪潮之中，助推行业、设备发展，同时，由于竞争激烈，也造成严重的产品同质化现象。因此，品质、工艺、服务、企业专注度开始成为市场选购考量的重要因素，个性化、高端化、多样化也成为企业选购时关注的亮点。作为新能源叉车引领者，比亚迪叉车一直追求高品质产品，为客户提供完整的物流解决方案，它未来的发展和动向，也始终为人们所关心。日前，在CeMATASIA2018比亚迪叉车品牌交流会现场，《中国储运》杂志记者第一时间了解到比亚迪叉车未来发展的目标和方向。

4　拟合验证

对上述简支桥实例进行验证，采用多项式拟合的方法进行曲率模态畸变面积与损伤程度关联性的验证。单损伤工况下的多项式拟合结果如表4所示。由表4可以看出，随着拟合次数的增加，复相关系数也呈现增大的趋势。当拟合次数达到3次以后，拟合基本达到了完全相关，因此采用多项式拟合的次数取3次，拟合效果如图5所示。

对损伤工况下面积的变化情况进行多项式拟合，得到对应的损伤程度为

a=3.045T3(a)+5.14T2(a)+

3.082T(a)-0.005 473

(14)

通过式(14)可计算该实例在单损伤工况下的损伤情况。多损伤工况下的多项式拟合情况如表5所示。从表5可以看出，随着拟合次数的增加，复相关系数也呈现增大的趋势。当拟合次数达到3次以后，拟合基本达到了完全相关，因此采用多项式拟合的次数取3次，拟合结果如图6所示。

对损伤工况下面积的变化情况进行多项式拟合，得到对应的损伤程度为

硒是仔猪生长发育不可缺少的微量元素，仔猪缺硒时突然发病，食欲下降，精神不振，关节肿大，瘫痪，严重者突然死亡，剖检时可见肝坏死，肌肉苍白、萎缩，心包积水等病变。发病特点是营养状况良好、生长发育快的仔猪最先发病。仔猪3～5日龄肌注亚硒酸钠0.5 ml，断奶时再注射1 ml。

式中：为不完整的自变量。

4.554T(a)-0.008 099

社区矫正将地点设定在社区，其初衷是希望犯罪人员能够通过与社区人员、环境的接触，借助社会的力量尽早融入社区生活。而实践中，社会力量较少参与社区工作，这与社区矫正的初衷背道而驰。司法所不仅要对社区服刑人员加强法制宣传，更要对广大社区居民进行社区矫正宣传，提高他们对社区矫正工作的认可度，号召大家参与社区矫正工作，帮助服刑人员尽快回归社会。

(15)

  

图4　损伤识别流程Fig.4　Damage Identification Process

 

表4　单损伤工况下的多项式拟合结果Tab.4　Polynomial Fitting Results Under Single Damage Condition

  

损伤工况完整梁体16单元损伤5%16单元损伤15%16单元损伤40%16单元损伤60%16单元损伤80%r'曲率模态曲线畸变面积/m20.0000-0.0145-0.0481-0.1754-0.3750-0.8693不同拟合次数时的拟合结果/m21-0.1121-0.1251-0.1552-0.2692-0.4479-0.89050.93352-0.0273-0.0583-0.1277-0.3605-0.6301-0.79600.99633-0.0055-0.0491-0.1422-0.4044-0.5990-0.80080.99994-0.0002-0.0496-0.1502-0.3999-0.5997-0.79661.000050.0000-0.0500-0.1500-0.3998-0.5994-0.79621.0000

  

图5　单损伤工况下曲率模态面积的拟合结果Fig.5　Fitting Results of Curvature-mode Areas Under Single Damage Condition

通过式(15)可计算该实例在多损伤工况下不同损伤程度的损伤情况。

5　效果对比

设定下列损伤工况进行上述方法的验证：16单元分别损伤25%，50%，70%；11单元和21单元分别损伤15%，60%，80%。

单损伤工况下分别采用多项式拟合和BP神经网络拟合方法对不同程度的测试损伤工况进行识别，结果如表6所示。

根据安徽省推进商业保险机构经办城乡居民基本医保业务试点的指导意见[2]可知，各地试点主要涵盖以下主要任务(基本要素)：图1

牡丹花中传来繁复错综的丝弦之声，花雨也会变得急骤而频密，金桂与寒梅的气息混杂在一起，令人头脑激越昏沉；而牡丹花中的声响回复到和蔼安宁的箫管之乐，花雨也一变为轻缓疏落，飘来隐约的梨花与菊花的暗香，令人神情空明。这样高低、强弱、香臭、软硬、上下的变化，与声音的魔道消长交会，更令他们愈加五感开放，情难自禁，真气跌宕，血脉贲张，凶险万变，苦不堪言。

 

表5　多损伤工况下的多项式拟合结果Tab.5　Polynomial Fitting Results Under Multiple Damage Conditions

  

损伤工况完整梁体11单元和21单元损伤10%11单元和21单元损伤20%11单元和21单元损伤45%11单元和21单元损伤70%11单元和21单元损伤90%r'曲率模态曲线畸变面积/m20.0000-0.0204-0.0439-0.1322-0.3304-0.8276不同拟合次数时的拟合结果/m21-0.1625-0.1832-0.2071-0.2967-0.4979-1.00250.91032-0.0510-0.1074-0.1700-0.3842-0.7423-0.89510.99233-0.0081-0.0969-0.1897-0.4565-0.6990-0.90020.999840.0002-0.1005-0.1997-0.4499-0.6996-0.89561.000050.0000-0.1000-0.2000-0.4500-0.6997-0.89771.0000

  

图6　多损伤工况下曲率模态面积的拟合情况Fig.6　Fitting Results of Curvature-mode Areas Under Multiple Damage Conditions

 

表6　单损伤工况下不同方法的损伤程度识别结果Tab.6　Damage Degree Identification Results of Different Methods Under Single Damage Condition

  

损伤工况预设损伤/%多项式拟合结果/%BP神经网络拟合结果/%16单元损伤25%-25.00-24.48-24.6116单元损伤50%-50.00-50.98-49.8316单元损伤70%-70.00-65.34-63.55

多损伤工况下分别采用多项式拟合和BP神经网络拟合的方法对不同程度的测试损伤工况进行识别，结果如表7所示。

由表6，7的识别结果可以看出，采用这2类方法都可以较好地对损伤程度进行识别。学习、训练数据的组数与识别精度关系较大，因此在实际操作中应尽量多选取数据组数进行学习与训练。本文实例中选取小损伤工况的训练数据较多，因此对于小损伤工况下损伤程度识别效果较好，而大损伤工况的识别效果较差。

 

表7　多损伤工况下不同方法的损伤程度识别结果Tab.7　Damage Degree Identification Results of Different Methods Under Multiple Damage Conditions

  

损伤工况预设损伤/%多项式拟合结果/%BP神经网络拟合结果/%11单元和21单元分别损伤15%-15.00-14.11-14.3311单元和21单元分别损伤60%-60.00-62.34-59.6911单元和21单元分别损伤80%-80.00-70.02-80.46

6　结语

(1)本文以曲率模态参数为基础，提出一种基于曲率模态曲线变化的桥梁损伤识别方法。通过对桥梁损伤后曲率模态曲线的畸变面积进行反向拟合，可得到桥梁准确的损伤位置和损伤程度。

(2)桥梁损伤后，其曲率模态曲线产生的畸变面积与损伤程度存在正比关系，损伤程度越大，曲率模态曲线畸变面积越大。

(3)对桥梁损伤后曲率模态曲线的畸变面积进行研究分析，将畸变面积的变化趋势与损伤程度的发展进行拟合，可较准确地确定桥梁的损伤情况。

“生长素的生理作用”是人教版必修3第三章第二节的内容，是在学习了“生长素的发现”的基础上，进一步阐述生长素的生理作用以及在生产实践中应用。本节内容与生产、生活联系非常紧密，在教学过程中教师可采用问题情境的方法，即把教学内容“问题化”，问题提出“情境化”，情境创设“生活化”，尽量联系生产、生活，创设贴近生活的情境，让学生在真实的情境中学习、获取生物学知识，并用已学的生物学知识解决真实的生活问题，让学生从中感受到生物学科的实用价值，激发学生的学习兴趣和学习动机，不断提升学生的科学素养。

(4)通过多项式拟合得到的算式和BP神经网络的训练可对桥梁损伤情况进行定量分析。

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