大学数学教学中类比法的应用

在今天的高科技时代，数学文化是现代科技文化的核心之一，这已成为大家的普遍共识.数学不仅是一门知识，也是一种素质.数学训练对于提高人的推理能力、抽象能力、分析能力和创造能力是非常重要的，是其他训练难以替代的.大学数学教育应该在传授数学知识的同时，以提高学生的数学素质为目标，通过大学数学教学，让学生在掌握足够的数学知识基础上，自身的心智得到导引；认识、处理数形规律和逻辑关系等悟性和潜能得到启迪和挖掘；求真务实的品格等得到提升；达到能够数学地思考、分析、表达和解决问题的目的.

从已有的资料显示，很多的农民专业合作社社长的文化程度普遍不高，因而社长对于合作社的发展和进步方向把握不明确，对于一些先进的理念和技术等也没有足够的认识，而且另外很多高层次的人才不愿意回到和农村工作，这也限制了农民专业合作社面向农民的贷款运营。

大学数学教学过程中，注重数学思想方法的渗透，发挥其在教学中的作用，既是让学生更好地把握数学知识的一把钥匙，也是培养学生创新精神与应用能力的一个重要途径.本文主要探讨数学思想方法中的类比法，并以大学数学中一元和多元函数微积分的部分概念、定理、性质和证明为例，阐述它的教学应用.

1 类比法概述

类比法是指根据两种不同的数学对象之间在某些方面特征相似或者相同，而推测出它们在其他方面也有可能相似或相同性质的推理方法.它是一种以比较为基础，从特殊到特殊的或然性推理方法，其结论正确与否，需要经过严格的证明才能确认.类比推理有多种形式，有简单类比、因果类比、关系类比等等.

类比法是数学学习、数学发现和数学解题中常用的方法，它是提高学习效率、提出新问题和做出新发现的一个重要源泉.大学数学中的微积分包括一元函数微积分和多元函数微积分，它们虽然是独立的，但是在讲解多元函数微积分定义、定理和性质时，完全可以与一元函数微积分进行类比，让学生触类旁通，事半功倍，从而提高教学的效率.

2 类比法在大学微积分教学中的应用

在大学微积分教学中，主要知识点是一元函数与多元函数的概念、定理和性质等.学生学习一元函数微积分时，对概念和性质的理解可以结合直观性较容易接受，可是到了学习多元函数微积分时，多变量和空间变化，往往让学生感到束手无策，如何通过类比，把多元函数的概念和相关性质的形成从一元函数找出原型，引入新的观点，加于推广并注意它们之间的异同，这可使教学效果达到事半功倍的作用.

这样，一元函数的当 x→x0时，f（x）→A的-δ描述：

2.1 概念教学中的应用

类比是一种思维方式，对于类比得到的结论要通过严格的推理论证.大学数学教学过程中，学生最难掌握的，也是最惧怕的就是推理论证.这时发挥类比思维，可以帮助大家闯过证明难关.例如，一元函数在闭区间上连续必有界，类比有二元函数在有界闭区域上连续必定有界，证明一元函数情形时，可用闭区间上的有限覆盖定理构造推导出，那么，对二元函数来说，有界闭区域上的有限覆盖性质仍然成立，类似的构造推导证明也是可行的.

（1）处理多个变量的对应问题

一元函数的连续性：设 f（x）的定义域为D，对任意 D的聚点,且 x0∈D，如果，则称 f（x）在 x0点连续.

（2）认识多个变量的收敛问题

骑着自行车，越过双湖桥，朝东湖路一路踩过去。路灯很璀璨，微黄的光洒了一身，让人倍觉温暖。阿东突然觉得这个小丁于他有了某种亲切。

把一元函数极限概念类比推出多元函数极限的概念，还得需要对“充分接近”有更进一步的认识.

一元函数 y=f（x）的极限概念，即当定义域中的一个点 x充分接近于 x0时，y=f（x）会无限接近于一个确定的常数A，其直观意义为：当 x充分接近于x0时，可以任意小.

类比于此，多元函数 y=f（P），当P充分接近于P0时，f（P）无限接近于一个确定的常数A，也就是当P充分接近于P0时，可以任意小.

怒吼的河水溅出白色的浪花，肆意击打着金属栏杆，栏杆又窄又滑。克里斯蒂娜就算有胆在上面悬挂五分钟，也不一定能撑得住。可怜的克里斯蒂娜进退两难，她要么选择沦为无派别人，要么去冒死一试。

那么应该如何描述“P充分接近于P0（即P→P0）”以及“当P充分接近于P0时”?

联想到直线上的情形，参照“点列｛x0｝趋近于 x0”的描述，“动点 x趋近于 x0”可描述为：对任意给定的＞0,从某个时刻起总有 0＜ x-x0＜,即x与x0的距离小于任何事先给定的，这里的几何意义是 x与 x0的距离.因此对于多元函数 f（P）,要在定义域中引入距离概念，类比于平面和三维空间中点之间距离的概念，对一般n维空间Rn中也可按同样办法建立距离的概念，把空间Rn中两点间P（x1,x2,…，xn），（z1,z2,…，zn）的距离定义为

 

英文名称：Casein phosphopeptides，简称CPP。别名：酪蛋白钙肽，CAS号：691364-49-5。核心结构为—Se r（P）-Se r（P）-Se r（P）-G lu-G lu-（Se r丝氨酸，G lu谷氨酸，P磷酸基），属于氨基酸系列。CPP是易溶于水的白色或淡黄色粉末，具有很好的溶解和压片性能，可耐受高温处理，稳定性良好。根据《食品营养强化剂使用标准（GB 14880）》的规定，CPP可在食品中添加。

第二，教学因素。部分高校的教育教学存在很大的问题，在人才培养方面与社会实践需求不符，使得学生的社会适应能力较差，学习的积极性降低；有的教师专业理论水平或实践教育水平较低，教学方法与模式单一枯燥，不能认真关心学生的发展与心理，了解学生的理解能力与学习能力，教学方式无法满足学生对知识的需求，学生的课堂参与较降低；还有一些教师将大量的时间与精力用于科研，而对于教学工作的关心较少；部分学校的学习氛围较差，学生的学习没有紧迫感，影响学生的学习积极性。

 

类比推广到多元函数的当P→P0时，f（P）→A的-δ描述：

 

2.2 定理和性质教学中的应用

微积分学中定理和性质很多，而且都是重要的教学内容.它们当中许多定理和性质也是可以相互类比的.学生们可以通过一元函数的性质和定理，类比猜想出二元函数以及多元函数的性质、定理，这有助于学生自己思考，自己动手证明得出新性质.

一元函数的有界性定理：在给定闭区间［a，b］上连续，那么它在闭区间［a，b］上一定有界.类比可以给出多元函数有界性定理:如果多元函数在有界闭区域上连续，则函数在该闭区域上有界.

为了要描述多个因素的变化导致事物发展结果的相应改变，引入多元函数的概念.将多个因素用数学语言表述成多个变量，记为x1,x2,…，xn，发展结果就用另一个变量 y表述.若每个变量 xi取一组值能唯一确定变量 y的值，就定义了因变量 y是自变量 x1,x2,…，xn的函数，记做 y=f（x1,x2,…，xn）.在学习和理解一元函数y=f（x）的对应关系时，由于自变量只有一个在变化，它取定一个值时，因变量y就有一个值与它对应，所以处理起来比较方便.到了学习多元函数，自变量有多个，会感到麻烦，自然就会想如果能把多元函数的自变量看成一个整体来处理是不是会方便些呢？尝试在形式上把x1,x2,…xn加上括号变成n维向量，就变成一个整体了.但是仍不够直观方便，再做进一步类比，一维向量它是表示实轴上的一点，而二维向量是表示平面上的一点，这样一来，n维向量可以看成n维空间Rn上的点P，于是函数关系就变成两个空间之间点与点的对应关系，于是 y=f（x1,x2,…，xn）就可以改写为 y=f（P）.这就是函数概念的进化，在这个新的观点的导引下，要再推广极限等概念思路就会更广阔.

经过4周的治疗，2组VAS及ODI评分均较治疗前明显下降(均P<0.05)；且观察组患者VAS及ODI评分均明显低于对照组(均P<0.05)。见表2。

一元函数在定义域范围内，只要当任意的 x无限接近 x0，它的函数值 f（x）也无限接近 f（x0）时，那么就说它在 x0连续.对于二元函数也是需要在定义域范围内，这时是两个自变量（x，y），利用类比，只需要当（x，y）无限接近定义域内的聚点 （x0，y0）时，它们的函数值 f（x，y）也无限接近 f（x0，y0），那么就可以说f（x，y）在聚点处连续.

设 f（x，y）的定义域为 D， f（x0，y0）有意义且（x0，y0）是 D 的聚点，如果（x0，y0），则称 f（x，y）在点 f（x0，y0）连续.

参考文献:

下面利用一元函数连续性、有界性定理类比出二元函数的相关性质与定理.

2.3 论证教学中的应用

一元函数的极限、连续概念可以推广到多元函数，但在教学中必须更新观点，处理和认识好如下两个问题.

2.4 关注多元函数异于一元函数的“怪现象”

多元函数与一元函数的极限定义虽然在形式上没有什么差别，但若仔细分析，就会发现它们仍有不同之处，主要在于点的邻域在几何形式上的存在着差异，在一维空间，点的邻域是开区间，在二维空间，点的邻域是个开圆盘，而在n维空间中，点的邻域变成一个开球.因此，在一维空间，尽管x趋近于 x0的方式是多种多样，但点 x趋近于 x0只有两个方向（路径），即 x要么在 x0的左边，要么在右边靠近；而在二维空间或高维空间，点P→P0却有无穷多个方向，无穷多条路径.例如，一元函数极限存在的充要条件就是左右极限存在且相等，然而判别二元函数极限的存在性就不能仅仅只从左右两种趋近方式来考虑，因为二元极限自变量确定的点（x，y）趋于（x0，y0）的方式具有任意性，这时判断多元函数极限存在性的方法就不能从一元函数的做法类比推出，也说是，在教学时就要很注意地讲明白二重极限和二次极限的差异.还有在一元函数中，函数在一点的“可导与可微等价”，“可导能推出连续”，对于二元函数这些结论不成立，原因何在？仔细观察会发现，二元函数在一点的两个偏导数并非一元函数在一点导数的完全推广，偏导数只是考查二元函数在平行于坐标轴方向上，函数与自变量比值的变化情况，它是特殊的，当然不能保证二元函数的点可微和连续这些具有点邻域的性质.这当中，导数和偏导数，全微分和偏微分也是学生容易混淆的知识点.

类比法是一种很重要的数学思想方法，可应用在各个领域、各门学科中.本文只是针对一元函数与多元函数在概念、定理和性质方面进行了类比应用，希望它能在大学数学教学中更好地应用数学思想方法起到抛砖引玉的作用.

一元函数若在区间D上每一点都连续，就可称它在这个区间D上连续，因此多元函数只要当它在区域D上每一点连续，也称它在区域D上是连续的.

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[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2010.

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[2]李克典,马云苓.数学分析选讲[M].厦门：厦门大学出版社,2006.

[3]吴炯圻,陈跃辉,唐振松.高等数学及其思想方法与实验[M]（上、下册）.厦门:厦门大学出版社,2013.

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